Métodos para cálculo aproximado de somas e séries e aplicações

Resumo

O principal objetivo deste projeto é desenvolver métodos para aproximação numérica precisa de somas com grande quantidade de termos ou de séries convergentes por somas finitas com menor quantidade de termos. A Integração Numérica, chamada também de Teoria de Fórmulas de Quadratura, é uma das áreas mais fundamentais da Análise Numérica, devido ao vasto número de aplicações em outras áreas da Matemática Aplicada, em Física e na Engenharia. Entretanto, existem pouquíssimos resultados e algoritmos para cálculo aproximado de soma com uma quantidade de termos muito grande ou de séries, apesar que este tópico é bastante próximo ao de integração numérica de ponto de vista matemático. Por outro lado, o problema sobre cálculo numérico de somas surge na prática tão frequentemente quanto o de cálculo de integrais. Uma das aplicações principais de cálculo de somas é no método dos mínimos quadrados. Nossa proposta é construir análogos à fórmula de quadratura de Gauss para cálculo preciso de somas. A construção de tal quadratura de tipo Gauss será desenvolvida na base de alguns resultados sobre o comportamento de zeros de polinômios ortogonais de variável discreta, o uso do chamado método de Weiertrass-Dochev-Durand-Kerner sobre aproximação simultânea de zeros de polinômios, métodos numéricos para autovalores de matrizes e outras técnicas numéricas. Planejamos pesquisar detalhadamente todos os aspectos do algoritmo proposto: a precisão dos cálculos, a análise do erro quando o termo geral da soma é uma função que pertence a um espaço normado, e também a convergência e a estabilidade dos algoritmos. Algumas das ferramentas fundamentais na análise são resultados da Teoria das Funções Especiais e Polinômios Ortogonais e da Teoria de Recuperação Ótima. A equipe que iniciou o trabalho sobre este tópico consiste do atual proponente e dos Professores Eduardo Godoy e Iván Area da Universidade de Vigo, Espanha, Dra Vanessa Gonçalves Paschoa Ferraz, da UNIFESP, São José dos Campos. (AU)