mapas multimodais em baixas dimensões

Resumo

Uma das questões fundamentais mais atuais em Sistemas Dinâmicos é a chamada Conjectura de Palis, segundo a qual em famílias típicas (ou genéricas) de transformações (difeomorfismos ou endomorfissmos, digamos) quase toda transformacão (num sentidoque pode ser tanto topológico quanto de medida no espaço de parâmetros) ou de re-gular ou de estocástica. O principal objetivo deste projeto de investigar a dinâmica detransformações multicríticas do intervalo (ou mapas multimodais) ou do círculo comvistas a estabelecer a Conjectura de Palis nestes contextos. Cumpre notar que a versãotopológica da conjectura no caso do intervalo foi estabelecida recentemente em virtudedos trabalhos de O. Kozlovski, W. Shen e S. van Strien. Entretanto, a versão mensurável da conjectura no caso geral de mapas multimodais permanece em aberto (os principais trabalhos estabelecendo a conjectura no contexto mensurável para família de transformações quadriláticas, quase-quadriláticas, ou polinômios de ordem mais alta são devidos a M. Lyubich, A. Avila, W. de Melo e W. Shen).Um dos passos mais importantes para a análise da Conjectura de Palis no contexto de transformações multicríticas do intervalo ou círculo é entender as transformações que são infinitamente renormalizáveis. Nesta direção um aspecto crucial de estabelecer os chamados limites a-priori complexos (complex bounds). Em minha tese de PhD (sob orientação de S. van Strien) apresentei uma prova unificada dos chamados complex bounds para qualquer criticalidade, para transformaçõe multicríticas analítico-reais do intervalo que são persistentemente recorrentes. Meu objetivo é desenvolver este estudo e aplicá-lo em colaboração com E. de Faria e E. Vargas (IME-USP), bem como P. Guarino (UFF-RJ), no contexto de transformações multicríticas do círculo, para obter respostas sobre renormalização e rigidez de tais transformações que possam eventualmente levar a uma prova da Conjectura de Palis nesse contexto. Cumpre notar que as técnicasque introduzi em minha tese de PhD para os complex bounds se aplicam a qualquercombinatória, limitada ou não, e a qualquer criticalidade. Nesse sentido, também pretendo, durante meu período como post-doc no IME-USP, estabelecer comunicação e colaboração com D. Smania (USP-São Carlos) com vistas a generalizar resultados recentes obtidos por ele, anunciados apenas para criticalidade par e combinatória detipo limitado. Com minhas técnicas, talvez tais resultados possam ser estendidos a qualquer criticalidade e combinatória. Para maiores detalhes e uma bibliograa, veja aversão completa deste projeto.