Construção de reticulados e aplicações na Teoria da Informação

Resumo

A Teoria algébrica dos números tem desempenhado um importante papel para a construção de códigos e reticulados algébricos. Encontrar reticulados algébricos via corpos de números com máximas diversidade e distância produto mínima tem sido o objeto de estudo nos últimos anos. Reticulados algébricos são aqueles obtidos através do anel de inteiros de um corpo de números e reticulados ideais são reticulados algébricos dotados de uma forma traço. A teoria de reticulados ideais tem demonstrado ser útil na teoria da informação. Reticulados ideais com alta densidade de empacotamento têm sido estudados como uma abordagem alternativa para a transmissão de sinais para o canal Gaussiano, que é um canal de comunicação do tipo AWGN (Additive White Gaussian Noise), onde predominam atenuações e atrasos de propagação de sinal. Reticulados ideais com altas diversidade e distância produto minima são interessantes para a transmissão de sinais para o canal com desvanecimento do tipo Rayleigh, que é um canal de comunicação que possui como principal característica a propagação por múltiplos percursos. Os reticulados obtidos via anéis quocientes, que foram introduzidos inicialmente como ferramentas para uma criptografia baseada em reticulados, têm sido pouco explorados em relação a construção de reticulados conhecidos na literatura e em relação a outras aplicações. Este projeto de pesquisa tem como objetivos: (i) a construção de reticulados ideais tanto para o canal Gaussiano quanto para o canal com desvanecimento do tipo Rayleigh, que apresentem melhor desempenho do que as construções conhecidas na literatura assim como explorar novas construções. (ii) explorar em campo teórico e aplicado os reticulados obtidos via anéis quocientes. (AU)