Medidas exteriores por seleções fracas e hiperespaços.

Resumo

O presente projeto envolve alguns dos mais estudados tópicos atuais em Topologia Conjunstística e Análise. Dividimos este projeto em três partes:1) Medidas exteriores geradas por seleções fracas. No artigo "Outer measures on the real line by weak selections" S. García-Ferreira e J. Astorga-Moreno introduziram uma nova técnica para definir medidas exteriores sobre a reta real utilizando seleções fracas. Uma seleção fraca é uma função das famílias de dois pontos de algum conjunto X cuja imagem é X com a propriedade de que f(A) pertence a A. Uma seleção fraca sempre prove uma relação que é reflexiva, antisimétrica e linear. Logo para cada seleção fraca f é possivel definir f-intervalos do modo usual. Seguindo a definição de medida exterior de Lebesgue, os autores definem uma f-medida exterior sobre a reta real. Neste mesmo artigo, os autores enunciam os primeiros resultados, exemplos e perguntas em torno do assunto. Em particular deste artigo selecionamos as seguintes questões:a) Suponha que duas seleções fracas são tais que todo f-intervalo e g-intervalo, se um f-intervalo e um g-intervalo tem os mesmo pontos extremos então tem a mesma medida. É verdade que a f-medida exterior e a g-medida exterior são iguais?b) Seja f uma seleção fraca. Existe um conjunto f-mensurável de tamanho contínuo?c) Suponha que existem duas seleções fracas que proveem quase a mesma relação com exceção de um conjunto enumerável. Eles proveem os mesmos conjuntos mensuráveis?O segundo artigo com estas noções é chamado "The Continuum Hypothesis and some outer measures on the reals" em colaboração entre os professores García-Ferreira, Tomita e eu. Neste artigo enunciamos varias equivalências a CH que envolvem algumas propriedades das f-medidas exteriores. Nosso principal resultado é provar a equivalência entre CH e a existência de uma f-medida exteriorem que a familia de subconjuntos enumeráveis é exatamente a família dos conjuntos de f-medida 0. Para nós, a seguint pergunta é natural existe um seleção fraca f tal que a família de conjuntos de medida 0 é exatamente o ideal de conjuntos magros?2)Compacidade enumerável e pseudocompacidade em hiperespaços.Dado um espaço topológico X, o hiperespaço de conjuntos fechados denotado por CL(X) é a família de fechados não vazios de X com uma "boa" topologia. Uma importante topologia foi definida por Vietoris que tem a seguinte base. Tome um conjunto finito de conjuntos abertos de X, um aberto básico da topologia de CL(X) é o conjunto de todos os fechados que contidos na união dos conjuntos abertos que interceptam cada um dos abertos fixados. Um dos principais problemas enunciados por J. Ginsburg é:Encontre condições para que um espaço X equivalente a compacidade enumerável (ou pseudocompacidade) de CL(X).Diversos matemáticos (inclusive A. Tomita) tem resultados parciais neste problema e estamos considerando-a em nossa proposta. 3) Conexidade en um hiperespaço de sequências convergentes. No artigo "The hyperspace of convergent sequences" foi estudado pela primeira vez o hiperespaço que é um subespaço das sequências não triviais convergentes do espaço usual CL(X) com a topologia de Vietoris onde X é um espaço métrico. Os principais resultados são(i) O hiperespaço da reta real é conexo por caminhos; (ii) se X é conexo por caminhos então o hiperespaço deve ser conexo e (iii) existe um continua conexo por caminhos cujo hiperespaço não é conexo por caminhos. Deste artigo selecionamos as seguintes questões: É X conexo por caminhos se o hiperespaço for conexo por caminhos? O hiperespaço é conexo se X for conexo? Existe um caminho de X na união dos conjuntos que formam um caminho de seu hiperespaço?