Espaços de módulos de feixes em superfícies de Hirzebruch, geometria de Poisson e sistemas integráveis

Resumo

Este projeto possui dois objetivos. O primeiro é investigar estruturas de Poisson em esquemas de Hilbert de pontos em superfícies de Hirzebruch. Acreditamos que este objetivo pode ser alcançado utilizando a descrição destes equemas de Hilbert em termos das variedades de aljavas fornecida por Bartocci, Bruzzo, Lanza e Rava, e adaptando para as nossas necessidades algumas das técnicas de geometria de Poisson não-comutativa desenvolvidas por Van den Bergh (double brackets) and Crawley-Boevey (H0-Poisson structures). Esperamos ainda esclarecer alguns dos resultados sobre estruturas de Poisson em esquemas de Hilbert de pontos em superfícies de Poisson obtidos por Bottacin no final dos anos 1990. O segundo objetivo do projeto é completar a descrição ADHM de espaços de módulos de feixes com referencial em superfícies de Hirzebruch. Este deve ser alcançado utilizando a descrição destes objetos em termos de mônadas recentemente fornecida por Bartocci, Bruzzo e Rava. Uma vez obtidos os dados ADHM, planejamos utilizá-los para responder duas questões. Primeira, os espaços de módulos de feixes com referencial em superfícies de Hirzebruch admitem uma estrutura de Poisson não trivial? Sala recentemente resolveu esta questão para a segunda superfície de Hirzebruch, mostrando inclusive que os espaços de módulos são simpléticos. Em seguida, queremos saber se os espaços de módulos em questão podem ser interpretados como sistemas integráveis. Seguindo o trabalho de Nakajima sobre o espaço de módulos de feixes só plano projetivo, esperamos que os dados ADHM nos permita encontrar integrais primeiras paras as equações de movimento. (AU)