Comportamento macroscópico de sistemas de férmions não relativísticos interagentes

Resumo

Se pretende derivar, de modo matematicamente rigoroso, comportamentos macroscópicos universais da matéria fria, partindo-se de modelos microscópicos quânticos para férmions interagentes. [1] contém alguns primeiros resultados neste sentido, no que tange a condutividade elétrica: se demonstrou que o coeficiente de transporte linear de cargas para o caso de férmions na rede com interações de curto alcance e em presença de desordem são bem definidos na escala macroscópica e correspondem a uma medida de Lévy (por nós chamada de "medida de condutividade"). Esta quantifica a produção de calor em presença de campos elétricos, no espírito dos trabalhos originais de Joule sobre a condutividade. Além disso, as medidas de condutividade associadas a regiões microscópicas convergem, no limite de grandes regiões, para a medida de condutividade associada à escala macroscópica. Motivados pela validade da lei de Ohm em escalas microscópicas, propriedade um tanto inesperada, mas verificada experimentalmente em 2012 [2], iremos estudar princípios de grandes desvios (isto é, taxas exponenciais de convergência) para medidas de condutividade. Em [3] demonstramos que férmions livres em presença de desordem possuem medidas de condutividade não nulas. Pretendemos mostrar que o mesmo é verdadeiro sem desordem, mas no caso de interações não nulas entre partículas. De fato, se acredita a resistência elétrica de condutores ordinários se deve, em parte, às interações entre os portadores de cargas. Note-se que, de um ponto de vista técnico, a verificação matematicamente rigorosa de conjeituras físicas a respeito de sistemas interagentes, é, de modo geral, tarefa árdua. Acreditamos que métodos de teoria construtiva de campos, como integrais de Grassmann-Berezin, cotas para grandes determinantes [4] e expansões em árvores de Brydges-Kennedy, serão de grande utilidade neste contexto. O decaimento espacial das interações é muito frequentemente usado para se garantir convergência de tais expansões. Assim, a ausência deste decaimento no caso de interações de longo alcance (como, por exemplo, as interações de campo médio) representa um obstáculo a aplicação dos métodos de teoria construtiva mencionados a várias situações de interesse físico. Pretendemos utilizar método das "aproximações de Bogolioubov" para converter o problema da construção das funções de correlação para interações contendo termos do tipo campo médio no problema da construção destas funções para uma família conveniente de interações de curto alcance [5], cada uma dessas interações "efetivas" podendo ser tratadas por métodos usuais de teoria construtiva. Tal ampliação do campo de aplicação dos métodos de teoria construtiva permitirá o uso destes no âmbito da teoria microscópica de supercondutores, nas quais interações do tipo campo médio são relevantes, como é o caso na teoria BCS. Neste contexto, se dará particular atenção aos fenômenos "exóticos" relacionados a supercondutores com alta temperatura crítica, como o pareamento tipo d e as ondas de densidade [6,7].[1] J.-B. Bru and WdSP, From the 2nd Law of Thermodynamics to the AC-Conductivity ..., M3AS (2015).[2] B. Weber et al., Ohm's Law Survives to the Atomic Scale, Science 335 (2012).[3] JBB, WdSP and C. Kurig, Macroscopic Conductivity of Free Fermions in Disordered Media, Rev. Math. Phys. 26(5) (2014).[4] JBB and WdSP, Universal Bounds for Large Determinants..., mp_arc 16-16.[5] JBB and WdSP, Non-cooperative Equilibria..., Memoirs of the AMS (2013).[6] D. A. Bonn, Are high-temperature superconductors exotic?, Nature 2 (2006).[7] JBB, A. Delgado and WdSP, d-Wave Pairing..., J. Stat. Mech. (2015). (AU)