Sobre os autovalores do laplaciano em variedades de Kahler

Resumo

O espectro do operador de Laplace e central em muitos problemas em geometria Riemanniana. Do ponto de vista qualitativo um dos resultados mais importantes sobre o espectro do operador de Laplace foram estabelecidos por Uhlenbeck [20]. A saber, são génericas no conjunto das métricas as seguintes propriedades: a) Os autoespaços são todos de dimensão 1, b) 0 não e valor crítico de nenhuma das autofunções, c) Todas as autofunções são funções de Morse, ou seja, seus pontos críticos são não degenerados. Se uma variedade riemanniana possui um grupo de simetria grande não se pode esperar que os autovalores sejam simples, uma vez que os autoespaços são representação pela ação do grupo de isometrias. Desta forma, o melhor que podemos esperar e que, genericamente no conjunto das métricas simétricas com relação a um grupo fixo G, os autoespaços são representações irredutíveis com relação a ação do grupo. Em variedades de Kahler M compactas existe uma ação canônica de uma superálgebra de Lie A no espaço das formas diferenciais que comuta com o operador de Laplace Hodge, tal álgebra e gerada pelo operador de Lefschetz, diferenciais complexas e seus adjuntos, ver [1] ou [23]. Portanto os autovalores do operador de Laplace Hodge agindo no espaço das formas diferenciais não podem ser todos simples. O objetivo do presente projeto se divide em duas partes. A primeira e estabelecer queas propriedades a), b) e c) são genéricas no conjunto das métricas em uma mesma classe de Kahler. A segunda e mostrar que, genericamente no conjunto de métricas em uma mesma classe de Kahler, os autoespacos do operador de Laplace Hodge agindo em formas diferenciais são representação irredutíveis para a ação da superálgebra A. (AU)