Desenvolvimento de métodos eficientes para problemas de otimização linear e não linear cônicas, e suas aplicações

Resumo

Os problemas de otimização cônicas são modelos matemáticos nos quais as funções objetivas são minimizadas (ou maximizadas) e as variáveis são vetores finitos sujeitos a restrições descritas por desigualdades de funções e simultaneamente pertencentes a cones. Quando a função for linear, o problema é chamado linear e caso contrário, não linear. Estes problemas são também chamados de convexos se as funções objetivas forem funções convexas (no caso da minimização) e os conjuntos dos pontos viáveis forem convexos. Podemos citar dentre outros exemplos, os problemas de otimização linear, otimização sobre cones de segunda ordem, otimização semidefinida, etc. Na prática, estes problemas podem ser utilizados para resolver problemas nas mais diversas áreas como problemas envolvendo polinômios, problemas em redes de sensores, fluxo de energia ótima, matrizes de densidade reduzida de segunda ordem fermiônicas, problemas de sistema e controle, regressões, etc. Em particular, há um interesse crescente devido às aplicações em aprendizado em máquina. Neste projeto, iremos focar principalmente em três temas referentes à resolução computacional de problemas em otimização cônica. (i) Análise computacional dos diversos métodos de primeira ordem para problemas de otimização convexa não suaves. Existe uma discrepância nos interesses fins para estes métodos entre as áreas de otimização contínua e aprendizado em máquina. Na primeira, o interesse principal é propor métodos que garantam complexidades teóricas para se obter uma solução aproximada do problema. Na segunda, o interesse é propor métodos númericos que possam obter o melhor desempenho para problemas específicos. Portanto o objetivo do projeto é criar um novo paradigma para comparar diversos métodos existentes incluindo os métodos propostos pelo professor visitante que nunca foram implementados e subsequentemente testar em diversos problemas práticos; (ii) Extensão das condições aproximadas de Karush-Kuhn-Tucker para métodos de primeira ordem aplicados a problemas de otimização semidefinida. Estas condições que foram propostos a quase 10 anos tem sido cada vez mais citados pela sua praticidade e por exigir menos condições do que as condições de qualificação tradicionais. O objetivo do projeto referente a este tema é analizar e extender estas condições para métodos que possam resolver problemas de otimização semidefinida de larga escala; (iii) Estudo sobre métodos de subgradiente proximal para problemas de recuperação de fase. Neste último tema, existem dois objetivos: (a) Retirar algumas hipóteses e estender os resultados obtidos num trabalho recente do professor visitante no qual a reformulação é feita por diferenças de funções convexas e a solução por um método de subgradiente proximal; (b) Identificar problemas práticos, que, por exemplo, são frequentes em aprendizado em máquina, onde a reformulação do problema torna-se essencial para se obter um desempenho superior. Fato este comprovado pelo trabalho recente do professor visitante aplicado em problemas de recuperação de fase. (AU)