Reconstrução não-linear completa de imagens de Tomografia por Impedância Elétrica utilizando o método D-Bar 2D

Resumo

Neste trabalho propõe-se desenvolver uma versão sem linearizações do método D-Bar para Tomografia por Impedância Elétrica. O método D-Bar é um método capaz de gerar imagens absolutas de Tomografia por Impedância Elétrica (TIE) de forma não iterativa, talvez o único no presente momento. No método D-Bar há uma mudança de variáveis que leva a equação generalizada de Laplace, que representa um problema de condutividade elétrica, à equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger tem soluções conhecidas pelo nome de soluções de Faddeev. O problema inverso de TIE é mal posto e leva a equações algébricas mal condicionadas. A determinação da condutividade pelo método D-bar é baseada no teorema de existência e unicidade de Adrian Nachman [Ann. of Math. 143 (1996)], dependendo do uso de um objeto intermediario chamado scattering transform. O mal-condicionamento se manifesta na determinação da scattering transform, mais especificamente na determinação das soluções de Faddeev. Nas implementações atuais da determinação das soluções de Faddeev psi(x,k) no D-Bar há uma simplificação, o comportamento assimtótico das soluções de Faddeev é usado ao invés de psi(x,k) no cálculo da scattering transform. Trata-se de uma espécie de linearização em uma etapa do método global.Neste trabalho propõe-se calcular a scattering transform a partir das soluções exponencialmente crescentes e com isto obter imagens com maior resolução por ter evitado uma linearização. O método gera um sistema de equações algébricas mal condicionado. A solução deste sistema de equações algébricas requer o uso de regularizações. Várias técnicas de regularização serão comparadas. A viabilidade de incorporar conhecimento a priori da condutividade nesta etapa do método D-Bar é investigada. As imagens resultantes são comparadas com aquelas obtidas através da aproximação e^{ikx} na equação da scattering transform.