Reticulados algébricos via corpos de números abelianos

Resumo

Um reticulado é um subgrupo aditivo discreto de R^n. Constelações de sinais tendo estrutura de reticulado têm sido utilizadas como suporte para transmissão de sinais sobre os canais gaussiano e com desvanecimento do tipo Rayleigh. Usualmente, o problema de encontrar boas constelações de sinais para um canal gaussiano está associado à pesquisa por reticulados com alta densidade de empacotamento. Por outro lado, paraum canal com desvanecimento do tipo Rayleigh a eficiência, medida pela probabilidade deerros na transmissão, está relacionada à diversidade do reticulado e sua distância produto mínima. Um reticulado em R^n é dito algébrico se ele pode ser obtido como a imagem de um homomorfismos canônico ou torcido aplicado a um Z-módulo livre de posto n contido em um corpo de números de grau n. Construções de reticulados algébricos podem ser utilizadas para calcular alguns parâmetros dos reticulados, como densidade de empacotamento e distância produto mínima, que são parâmetros difíceis de serem calculados em reticulados gerais em R^n. Neste projeto de pesquisa, fazendo uso de teoria algébrica dos números, propomos a construção de famílias de reticulados em R^n como reticulados algébricos. É de grande interesse investigar em quais corpos de números versões rotacionadas dos reticulados A_n, D_n, Z^n, E_6, E_7, E_8, K_{12}, \Lambda_{16}, \Lambda_{24} e somas diretas dos mesmos podem ser obtidas via os homomorfismos canônico ou torcido aplicados a ideais fracionários. Em alguns casos, nosso foco será sobre corpos de números totalmente reais, uma vez que os reticulados obtidos a partir destes são reticulados com diversidade máxima. (AU)