Homologia evanescente e espaços de pontos múltiplos de aplicações singulares

Resumo

Este projeto versa sobre a homologia evanescente da imagem $Z_\epsilon= f_\epsilon(\mathbb C^n)$ de perturba\c{c}\~oes, $f_\epsilon$, de germes de aplica\c{c}\~oes finitas $f (\mathbb C^n,0)\to(\mathbb C^p,0)$. Os resultados nesta \'area s\~ao an\'alogos aos de fibra\c{c}\~ao de Milnor de germes de interse\c{c}\~ao completa com singularidade isolada (ICIS), mas a natureza altamente singular de $Z_\epsilon$ imp\~oe obst\'aculos que limitam o progresso. Os espa\c{c}os de pontos m\'ultiplos s\~ao uma maneira de evitar esses obst\'aculos porque eles s\~ao significativemente menos singulares e seus m\'odulos de homologia alternada codificam a homologia de $Z_\epsilon$. No entanto, nossa habilidade de descrever o espa\c{c}o dos pontos m\'ultiplos depende fortemente do corank de $f$ ($\corank f_x$ \'e o rank do n\'ucleo do diferencial $df_x$): enquanto os pontos m\'ultiplos de aplica\c{c}\~oes de corank $\leq 1$ s\~ao bem conhecidos, descrever uma boa estrutura alg\'ebrica para os pontos m\'ultiplos na presen\c{c}a de pontos de corank $\geq 2$ \'e um dos problemas mais dif\'iceis desta \'area. Pe\~nafort definiu espa\c{c}os de pontos m\'ultiplos modificados que resolvem este problema para uma quantidade significativa de dimens\~oes. Os principais problemas a tratar neste projeto s\~ao (A) Conjectura de Mond, a desigualdade para germes $\bC^n\to\bC^{n+1}$ similar \`a dos n\'umeros de Milnor e Tjurina para ICIS. Sabe-se que \'e verdadeira para $n=1,2$. Bobadilla, Nu\~no e Pe\~nafort mostraram que essa conjectura pode ser reduzida em uma fam\'ilia discreta de exemplos de ordem crescente. Ainda n\~ao existe uma tal fam\'ilia na literatura, e Or\'efice-Okamoto e Pe\~nafort estão trabalhando nesta constru\c{c}\~ao para $n=3$. (B) Resultados de Conectividade: determina\c{c}\~ao, em termos da dimens\~ao da fonte, meta e conjunto singular, de uma gama de graus onde a homologia de $Z_\epsilon$ \'e trivial, analogamente ao teorema de Kato-Matsumoto para interse\c{c}\~oes completas. Isto est\'a bem relacionado \`as modifica\c{c}\~oes de Tjurina de variedades determinantais estudadas por Nu\~no, Tomazella e Or\'efice-Okamoto; e (C) Extens\~ao da Conjectura de L\^e: Existe algum germe de aplica\c{c}\~ao injetiva $f:(\mathbb C^n,0)\to(\mathbb C^p,0)$ tal que $\corank f>p-n$? (AU)