Polinômios ortogonais no círculo unitário e estudos relacionados

Resumo

Para os próximos anos, estudos sobre os polinômios ortogonais no círculo unitário terão prioridade nas atividades de pesquisa do membro Alagacone Sri Ranga do gruPOSjrp do IBILCE/UNESP. Os polinômios ortogonais no círculo unitário também são conhecidos como polinômios de Szegö em homenagem a Gábor Szegö, que os introduziu no início do século XX. Desde então, estes polinômios têm sido objeto de estudos de muitos pesquisadores devido à sua aplicabilidade em regras de quadratura, processamento de sinais, teoria de operadores, teoria espectral, e muitos outros tópicos. Bem recentemente observamos que qualquer sequência de polinômios ortogonais no círculo unitário pode ser caracterizada em termos de um par de sequências reais $\{c_n\}_{n \geq 1}$ e $\{d_{n}\}_{n \geq 1}$, onde $\{d_{n}\}_{n \geq 1}$ também é uma sequência encadeada positiva. Esta observação abriu uma nova porta para investigar as propriedades e, em consequência, as aplicações destes polinômios. Assim, um dos objetivos principais de nosso projeto para os próximos anos será estudar as propriedades dos polinômios ortogonais no círculo unitário em função das sequências $\{c_n\}_{n \geq 1}$ e $\{d_{n}\}_{n \geq 1}$. Novas classes de polinômios ortogonais no círculo unitário (também classes de polinômios ortogonais no círculo unitário do tipo Sobolev) que encontramos recentemente, têm criado novos desafios de pesquisa. Finalmente, como a frente de trabalho mais recente para estudar polinômios ortogonais no círculo unitário, apresentamos um problema de autovalor generalizado que deve fornecer muitos artigos de pesquisa nos próximos anos. (AU)