Esturtura topologica dos atratores de Lozi

Resumo

O projeto propõe um estudo das propriedades topológicas de estranhos atratores planares, por simplicidade, focando principalmente nos atratores de Lozi. A família de mapas de Lozi é uma família de homeomorfismos planares que depende de dois parâmetros reais a, b é dada por L_(a,b)(x, y) = (1+y-a|x|, bx) para cada (x, y) no plano real. O atrator de L_(a, b) é o conjunto que atrai todos os pontos de sua vizinhança. Topologicamente, tal conjunto é um contínuo, isto é, um espaço métrico compacto e conectado. Sabe-se que, para um grande conjunto de parâmetros, tal atrator é indecomponível e a ação nele é topologicamente transitiva. No entanto, pouco mais se sabe sobre a estrutura topológica desses espaços.Intuitivamente eles se assemelham (mas infelizmente não são homeomórficos) à família de espaços limites inversos unimodais. Essa família gerou uma grande quantidade de pesquisas durante os últimos 30 anos, perseguindo predominantemente a prova da conjectura de Ingram, afirmando que todos os limites inversos não-triviais gerados por um mapa de ligação logística (a família de mapas logísticos é uma família distinta de mapas de intervalo unimodal; é uma família completa) são mutuamente não homeomórficas. A conjectura de Ingram foi comprovada (em positivo) em 2012 por Barge, Bruin e Stimac. Dinâmica de cada mapa unimodal tem uma descrição simbólica muito agradável que generaliza para os espaços de limite inverso. Cada ponto no espaço pode ser descrito como uma sequência infinita de dois símbolos de dois lados e quanto mais tempo as representações simbólicas de dois pontos estiverem de acordo, mais próximos estarão. Além disso, a ação do homeomorfismo de mudança atua como a mudança no espaço do símbolo. Isso torna o estudo dos limites inversos unimodais e seus homeomorfismos naturais facilmente acessíveis. Por exemplo, pode-se descrever simbolicamente os componentes do arco do espaço, ou os pontos que localmente não se assemelham ao conjunto de arcos do Cantor (chamados de pontos de dobra). Pode-se também distinguir um conjunto de pontos de extremidade dentro do conjunto de pontos de dobra. Além disso, é possível descrever simbolicamente o conjunto de pontos acessíveis e a estrutura da extremidade principal quando o espaço está embutido no plano.Sabemos que a família Lozi possui alguns fenômenos que tornam seu atrator substancialmente diferente de qualquer espaço limite inverso unimodal. No entanto, cada um desses atratores é um continuum unidimensional sem curvas fechadas simples e, portanto, é um contínuo em forma de árvore. Isso significa que é possível aproximar o espaço por capas abertas mais finas e mais finas cujos nervos são árvores. Uma das questões propostas neste projeto é encontrar essas capas e descrever o espaço como um contínuo em forma de árvore. Além disso, seria bom encontrar um único espaço e um único mapa de ligação em tal construção, de modo que a dinâmica no atrator seja dada gratuitamente através do homeomorfismo de mudança. Esse espaço pode ser mais complicado do que uma árvore, mas pode ser um certo dendrito. Embora os atratores Lozi não sejam necessariamente tão simples quanto os limites inversos unimodais, sabemos que todo mapa Lozi pode ser realizado como uma ferradura podada. Isso dá uma certa descrição simbólica de seu atrator. Vagamente, como no caso do limite inverso unimodal, cada ponto será descrito por uma seqüência em dois símbolos, com certas condições de admissibilidade. Outra questão proposta deste projeto é tornar essa descrição operável como no espaço unimodal do limite inverso, e usá-la para descrever os componentes do arco, pontos de dobra, pontos finais, conjuntos acessíveis e a estrutura final dos atratores de Lozi.