O conjunto de Mandelbrot e as suas cópias

• Processo: 17/03283-4
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Regular
• Data de Início da vigência: 01 de maio de 2017
• Data de Término da vigência: 31 de outubro de 2019
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Luciana Luna Anna Lomonaco
• Beneficiário: Luciana Luna Anna Lomonaco
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Município da Instituição Sede: São Paulo
• Assunto(s): Sistemas dinâmicos (matemática) Teoria da bifurcação Grupo de renormalização Conjunto de Mandelbrot
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: bifurcação | renormalização | sistemas dinâmicos complexos | Sistemas dinâmicos complexos

Resumo

O conjunto de Mandelbrot classifica o comportamento dos polinômios quadráticos,e éum objeto central na dinâmica complexa.Um fato intrigante é a presença de cópias do Mandelbrot no próprio conjunto de Mandelbrot e em muitos outros planos de parâmetro.No próprio conjunto de Mandelbrot existem dois tipos diferentes de pequenas cópias:As cópias primitivas (com cúspide), e as cópias satélites (sem cúspide). Foi provado por Lyubich que as cópias primitivas do conjunto de Mandelbrot sãoquaseconformemente homeomorfas ao próprio Mandelbrot. Tem sido crença geral de que as cópias satélite do conjunto de Mandelbrotsão mutuamente quaseconformemente homeomorfa. Em um trabalho anterior com C. Petersen, contestamos essa expectativa, mostrando que, em geral, as cópias satélite do conjunto de Mandelbrot não são quaseconformemente homeomorfas. De qualquer forma, acreditamos e estamos trabalhando em demostrar que algumas cópias satélite (com número de rotação com o mesmo denominador) são quaseconformemente homeomorfas.Por outro lado, o conjunto de Mandelbrot parece surgir no plano de parâmetro de uma família significativa de correspondências holomorfas, que são cruzamentosentre as aplicações quadráticas e o grupo modular. Esta família foi introduzida porS. Bullett e C. Penrose, que conjecturam que o lócus de conexidade(isto é, o conjunto de parâmetros para os quais o conjunto limite é conexo) para esta família é homeomorfo ao conjunto de Mandelbrot. Desde então, tem havido resultados parciais, mas a conjectura ainda está em aberto. Juntamente com S. Bullett, estamos trabalhando para dar uma teoria dinâmica para esta família de correspondências, e para resolver a conjectura. (AU)