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O conjunto de Mandelbrot e as suas cópias

Resumo

O conjunto de Mandelbrot classifica o comportamento dos polinômios quadráticos,e é um objeto central na dinâmica complexa.Um fato intrigante é a presença de cópias do Mandelbrot no próprio conjunto de Mandelbrot e em muitos outros planos de parâmetro.No próprio conjunto de Mandelbrot existem dois tipos diferentes de pequenas cópias:As cópias primitivas (com cúspide), e as cópias satélites (sem cúspide). Foi provado por Lyubich que as cópias primitivas do conjunto de Mandelbrot são quase conformemente homeomorfas ao próprio Mandelbrot. Tem sido crença geral de que as cópias satélite do conjunto de Mandelbrot são mutuamente quase conformemente homeomorfa. Em um trabalho anterior com C. Petersen, contestamos essa expectativa, mostrando que, em geral, as cópias satélite do conjunto de Mandelbrot não são quase conformemente homeomorfas. De qualquer forma, acreditamos e estamos trabalhando em demostrar que algumas cópias satélite (com número de rotação com o mesmo denominador) são quase conformemente homeomorfas.Por outro lado, o conjunto de Mandelbrot parece surgir no plano de parâmetro de uma família significativa de correspondências holomorfas, que são cruzamentos entre as aplicações quadráticas e o grupo modular. Esta família foi introduzida por S. Bullett e C. Penrose, que conjecturam que o lócus de conexidade(isto é, o conjunto de parâmetros para os quais o conjunto limite é conexo) para esta família é homeomorfo ao conjunto de Mandelbrot. Desde então, tem havido resultados parciais, mas a conjectura ainda está em aberto. Juntamente com S. Bullett, estamos trabalhando para dar uma teoria dinâmica para esta família de correspondências, e para resolver a conjectura. (AU)