Teoria de ordenabilidade para os grupos de tranças em superfícies e para os grupos de link-homotopia de enlaçamentos de intervalos generalizados em superfícies

• Processo: 14/27135-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Estágio de Pesquisa - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 10 de junho de 2015
• Data de Término da vigência: 09 de junho de 2016
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Denise de Mattos
• Beneficiário: Juliana Roberta Theodoro de Lima
• Supervisor: Steven Boyer
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: Université du Québec à Montréal (UQÀM), Canadá
• Vinculado à bolsa: 14/08088-7 - Teoria de ordenabilidade para os grupos de tranças em superfícies e para os grupos de Link-Homotopia de enlaçamentos de intervalos generalizados em superfícies. Teorema da representação para os grupos de Link-Homotopia de enlaçamentos de intervalos, BP.PD
• Assunto(s): Topologia algébrica
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Braid groups over surfaces | Generalized string-links | ordering theory | String-links | Topologia Algébrica

Resumo

Uma das áreas de pesquisa de grande importância que tem se desenvolvido é o grupo de tranças em superfícies. A teoria de tranças em superfícies está sendo bem desenvolvida: o teorema da apresentação para os grupos de tranças em superfícies, equivalente ao teorema da apresentação para o grupo das tranças no Disco feito por Artin, foi feito por Gonzalez-Meneses. Nesse artigo, ele estuda as apresentações dos grupos de tranças em superfícies orientáveis de gênero g maior ou igual a 1 e para superfícies não orientáveis de gênero g maior ou igual a 2. Em particular, esse artigo foi o objeto de estudo de mestrado da estudante.Recentemente, o teorema da representação dos grupos de tranças em superfícies equivalente ao teorema da representação para o grupo de tranças no disco foi feito por Bardakov e Bellingeri.Agora, para a teoria de ordenabilidade de grupos, Rolfsen, Dynnikov, Dehornoy e Wiest, mostraram que o Grupo das Tranças no Disco é ordenável à esquerda, ou seja, existe uma ordem linear estrita à esquerda para tal grupo. Além disso, eles mostraramque o grupo das tranças puras no disco é bi-ordenável, ou seja, existe uma ordem linear e estrita à esquerda e à direita para tal grupo. Mais tarde, Gonzalez-Meneses provou que os grupos de tranças puras em superfícies formam um grupo bi-ordenável.Além das tranças, vale a pena citar os enlaçamentos de intervalos generalizados. Informalmente, podemos dizer que um enlaçamento de intervalo generalizado é um tipo de generalização de uma trança. Para a primeira, consideramos a relação de equivalência de link-homotopia e para a segunda, consideramos a relação de equivalência de isotopia. A segunda é mais fraca que a primeira e, desta forma, conseguimos propriedades e resultados bem interessantes.Uma das características da link-homotopia é permitir que uma dada corda do enlaçamento de intervalo considerado tenha autointerseção, ou seja, permitir que ele tenha um número finito de autocruzamentos. Vamos considerar aqui outra definição: dizemos que um enlaçamento de intervalo generalizado é de segundo tipo quando permitimos que as autointerseções de uma corda do enlaçamento de intervalo considerado seja substituídapor um segmento trivial. No doutorado da aluna mencionada, ela prova que o conjunto dos enlaçamentos de intervalos com a operação dos grupos de trança, chamada de operação concatenação, dá origem a um grupo. Esse grupo chamamos de Grupos de Link-Homotopia de Enlaçamentos de Intervalos Generalizados. Além disso, ela encontra uma apresentação para ele e prova que o grupo de link-homotopia de enlaçamentos de intervalos em superfícies formam um grupo bi-ordenável, generalizando o resultado de Yurasovskaya que provou este resultado apenas para o caso do disco unitário.Neste projeto de pesquisa, pretendemos desenvolver generalizações dos resultados mencionados acima. Mais especificamente, temos como meta a abordagem dos seguintes problemas relacionados a este tema:1. Provar que o Grupo de Tranças em Superfícies é ordenável.2. Provar que o Grupo de Link-Homotopia de Enlaçamentos de Intervalos Generalizados é ordenável à esquerda. (AU)