Problemas de divisão sobre sequências especiais

• Processo: 22/16222-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Pesquisa
• Data de Início da vigência: 08 de janeiro de 2024
• Data de Término da vigência: 26 de novembro de 2024
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: André Pierro de Camargo
• Beneficiário: André Pierro de Camargo
• Pesquisador Anfitrião: Igor Shparlinski
• Instituição Sede: Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC). Universidade Federal do ABC (UFABC). Ministério da Educação (Brasil). Santo André , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: University of New South Wales (UNSW), Austrália
• Assunto(s): Teoria analítica dos números Problema de Dirichlet
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: analytic number theory | B-free integers | Dirichlet divisor problem | Divisor problems in residue classes | k-free integers | Teoria Analítica dos Números

Resumo

Um dos problemas mais antigos em Teoria Analítica dos Números (o problema clássico de divisão de Dirichlet) é determinar a menor ordem de magnitude do erro na expansão assintótica de expansion of $D(x) \ := \ \sum\limits_{n \leq x} \sum\limits_{d \mid n} 1$. Variantes desse problema foram consideradas ao longo dos anos impondo-se algumas condições sobre o índice de soma n, ou considerando apenas os divisores d de n que satisfazem certos requisitos. Esse projeto tem 3 objetivos interdependentes com diferentes níveis de complexidade. O primeiro e segundo objetivossão obter expansões assintóticas para $D$ quando $n \leq x$ é tomado em alguns subconjuntos $K$ do conjunto $\mathcal A_k$ dos números inteiros $k$-free. Estamos interessados principalmente nos casos $K = \mathcal A_k$ (primeiro objetivo) e $K = \mathcal A_k \cap \{ j \in \ \mathbb N : j \equiv a \ (mod) \ q \}$ (segundo objetivo). Depois de cumpridos esses objetivos, estaremos interessados em obter resultados análogos no caso em que $\mathcal A_k$ é substituído por algumas classes de $B$-free integers. O terceiro objetivo desse projeto é usar as ferramentas e habilidades desenvolvidas nas tarefas anteriores para compreender uma conjectura em aberto que conecta um problema de divisão complexo com o comportamento estatístico da sequência de partes fracionárias $(\alpha n^2)_{n \geq 1}, \ \alpha \ \notin \mathbb Q$. (AU)