Tópicos em Corpos Finitos: códigos cíclicos, hipersuperfícies de Artin-Schreier e trinômios irredutíveis

• Processo: 22/14004-7
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de abril de 2023
• Data de Término da vigência: 31 de março de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Herivelto Martins Borges Filho
• Beneficiário: Daniela Alves de Oliveira
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Bolsa(s) vinculada(s): 25/02198-0 - Tópicos em Corpos Finitos e Combinatória, BE.EP.PD
• Assunto(s): Formas quadráticas Corpos finitos
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Códigos cíclicos | curvas de Artin-Schreier | formas quadráticas | Polinômios esparços | Trinômios Irredutíveis | Corpos Finitos

Resumo

Este projeto tem dois objetivos principais: o primeiro é determinar o número de pontos racionais de hipersuperfícies de Artin-Schreier, que são hipersuperfícies da forma y^q-y=f(X) com f(X), \in F_q[X]\setminus{0} e X=(x_1,...,x_r), impondo algumas condições sobre f. Este problema já tem sido parcialmente estudado na minha tese de doutorado no caso em que f é uma soma de binômios da forma a_j x_j(x_j^{q^{i_j}}+x_j).Associaremos esse tipo de hipersuperfície com códigos cíclicos multidimensionais e estudaremos estes códigos para determinar seu peso mínimo e seu enumerador de peso. O segundo objetivo é estudar trinômios e pentanômios sobre F_2, na direção de obter condições de irredutibilidade e existência e ainda resultados gerais que caracterizem famílias de trinômios/pentanômios irredutíveis. A existência e construção de polinômios irredutíveis com poucos monômios sobre F_2[x] é de grande interesse teórico e possui aplicações em criptografia e teoria de códigos, entre outras. Os problemas propostos nesse projeto são continuações ou generalizações de problemas estudados em meu doutorado. Esses problemas são de interesse da comunidade científica, não apenas pelo aspecto teórico, mas também por suas diversas aplicações em outras áreas. Durante o pós-doutorado, aprofundaremos nosso estudo de ferramentas necessárias para obter resultados nesses problemas, tais como: Geometria Algébrica, Teoria de Caracteres, Formas Quadráticas, entre outras. Além disso, faremos uma revisão bibliográfica dos resultados associados a esses problemas, explorando as técnicas e noções já desenvolvidas para abordagem de problemas gerais inseridos nesse contexto.

Publicações científicas

(Referências obtidas automaticamente do Web of Science e do SciELO, por meio da informação sobre o financiamento pela FAPESP e o número do processo correspondente, incluída na publicação pelos autores)

MARTINEZ, F. E. BROCHERO; OLIVEIRA, DANIELA. On the number of rational points of Artin-Schreier's curves and hypersurfaces. DESIGNS CODES AND CRYPTOGRAPHY, v. 92, n. 10, p. 22-pg., 2024-06-05. (22/14004-7)