Resumo
O estudo das interações entre a teoria de grupos e a álgebra não comutativa através das álgebras de grupo é um ponto de encontro de várias teorias importantes da álgebra. Além das teorias de grupos e de anéis, o assunto está intimamente ligado com a teoria de representações de grupos finitos e de álgebras associativas, e tem conexões com K-teoria algébrica, álgebra homológica e topologia algébrica. Por outro lado, a teoria de números algébricos desempenha um papel importante, por exemplo, no estudo de unidades de anéis de grupos sobre os inteiros. As interações entre a teoria de grupos e a teoria de anéis podem ser estabelecidas e estudada de diversas formas e há duas que nos interessam particularmente. A primeira delas é tão antiga quanto a própria teoria abstrata de grupos. Dado um grupo G e um anel de coeficientes R, pode-se definir o anel de grupo de G sobre R. O artigo de A. Cayley de 1854, que é considerado o começo dessa teoria abstrata, é também o primeiro a introduzir implicitamente a noção de anel de grupo. Ela foi definida explicitamente por Th. Molien em 1897, e veio a adquirir enorme importância a partir dos trabalhos de E. N oether) R. Brauer e I. Schur) que estabeleceram a íntima relação que existe entre a teoria de estrutura de anéis e álgebras e as representações de grupos finitos, precisamente através da categoria dos módulos sobre um anel de grupo. Recentemente, membros do grupo conseguiram estabelecer a existência de grupos livres de posto 2 no grupo das unidades de um anel de grupo, sob diversas condições e no subgrupo de unidades unitárias em relação à involução induzida pela inversão. Também é estudado o comportamento de unidades simétricas e anti-simétricas sob esta involução. Pretende-se estudar o problema no contexto mais geral possível, levando em consideração, inclusive, homomorfismos de orientação. A segunda forma de olhar para as interações entre grupos e anéis, do nosso interesse, consiste em exibir grupos a partir de anéis. Mais precisamente, dado um anel R, pode-se considerar o grupo de unidades U(R) ou alguns dos seus subgrupos particulares. O estudo dos grupos de unidades de anéis foi tradicionalmente concentrado nas áreas de grupos lineares, anéis de grupo e anéis com divisão. Recentemente foram publicados resultados sobre unidades de anéis mais gerais. O assunto é de fundamental importância, tanto do ponto de vista da teoria de anéis, onde contribui para a compreensão da estrutura dos mesmos, como também do ponto de vista da própria teoria dos grupos. Existem duas conjecturas famosas; uma devida a Lichtman que propõe provar que o grupo multiplicativo de um anel com divisão contém um grupo livre de posto 2, e outra devida a Makar-Limanov, que propõe provar que um anel com divisão de dimensão infinita e finitamente gerado sobre seu centro contém uma sub-álgebra livre com dois geradores. Pretende-se continuar estudando estas questões e algumas versões refinadas das mesmas, por exemplo, se um subgrupo normal não central do grupo multiplicativo de um anel com divisão contém subgrupo livre de posto 2. Também se pretende exibir construções explícitas de grupos livres nos casos em que sua existência é conhecida. Também esperamos continuar nossos estudos sobre questões gerais em teoria de anéis e suas conexões com a teoria de representações de álgebras. Quanto às aplicações, há duas em que pretendemos trabalhar num futuro próximo: no estudo das ações parciais de grupos sobre anéis e na teoria algébrica de códigos. A teoria de ações e representações parciais, além de ter aplicações no contexto das C*-álgebras, onde foi introduzida, tem consequências importantes na própria álgebra. Ainda, tem aplicações na teoria de R-árvores, teoria de modelos, teoria de semi-grupos, topologia e teoria combinatória de grupos, etc. Espera-se continuar o estudo da teoria de Galois de ações parciais sobre anéis comutativos iniciado há pouco tempo. Também foram definidas recentemente as representações parciais projetivas e espera-se estudar suas relações com as representações projetivas de semigrupos e um novo tipo de cohomologia de grupos que elas sugerem. No que diz respeito às aplicações à teoria de códigos, gostaríamos de observar que quase todos os códigos corretores de erros que têm aplicações hoje em dia podem ser realizados como ideais em álgebras de grupo. A esse respeito, pode-se ver um survey recente de A.V. Kelarev e P. Solé, publicado no Contemporary Mathematics. Por exemplo, é possível determinar todos os códigos do tipo Reed-Solomon sobre um corpo finito F, de comprimento n dado, a partir dos idempotentes primitivos da álgebra de grupo FCn, onde Cn indica o grupo cíclico de ordem n. Hoje em dia, também há interesse em determinar categorias de anéis sobre os quais é possível construir uma teoria de códigos eficiente.Pretende-se determinar os idempotentes primitivos de certos tipos de álgebras de grupo finitas o que poderá ser aplicado à classificação de códigos cíclicos, abelianos, metacíclicos e nilpotentes e aprofundar o estudo de códigos sobre outros tipos de anéis. (AU)
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