Ideais de operadores não autoconjugados e estruturas complexas em espaços de Banach

• Processo: 24/16659-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2025
• Data de Término da vigência: 30 de setembro de 2028
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
• Pesquisador responsável: Valentin Raphael Henri Ferenczi
• Beneficiário: Pedro de Oliveira Emerick
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 23/12916-1 - Geometria de espaços de Banach, AP.TEM
• Assunto(s): Ideais de operadores Geometria de espaços de Banach
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: espaços conjugados | Estruturas complexas | Homologia de espaços de Banach | ideais de operadores | Geometria de espaços de Banach

Resumo

O projeto é dedicado ao estudo de ideais de operadores no sentido de Pietsch (Operator ideals, North-Holland, Amsterdam, 1980) e a teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Em particular, pretende-se responder algumas questões a respeito de ideais de operadores complexos não autoconjugados. Dado um ideal de operadores J e seu conjugado conj(J), quão pequena pode ser a interseção entre J e conj(J): ela poderia estar contida no ideal dos compactos? Ou ser um ideal próprio? Como ponto de partida, considera-se os dois exemplos de ideais não autoconjugados apresentados por Ferenczi (Math. Ann. 387: 1043-1072,2023) descritos abaixo.Dado F o espaço complexo totalmente incomparável com seu conjugado estudado por Ferenczi (Adv. Math. 231(1): 462-488, 2007), então o ideal clos(Op(G)) não é autoconjugado, onde Op(X) denota a família dos operadores X-fatoráveis, clos(X) o fecho de X e G é o espaço das sequências 2-somáveis com entradas em F. Para o segundo exemplo, considera-se Z2(w) como definido por Kalton em (Can. Math. Bull. 38(2): 218-222, 1995), que é uma variação do clássico espaço de Kalton-Peck Z2. O ideal clos(Op(Z2(w)) também é um ideal não autoconjugado para w não nulo.Também pretende-se descobrir novas técnicas para criar exemplos sem depender de espaços não autoconjugados, como são os espaços F e Z2(w). O estudo de estruturas complexas em espaços reais será uma estratégia para encontrar e entender ideais não autoconjugados. Reciprocamente, propriedades desses ideais podem lançar luz sobre a teoria de estruturas complexas. Além disso, técnicas de homologia são essenciais para a geometria de espaços de Banach e, por extensão, para o presente projeto. Uma exposição a esse respeito pode ser encontrada no livro (Homological methods in Banach space theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2023). Por meio da análise dos dois exemplos conhecidos, juntamente com outros exemplos que forem identificados, busca-se acumular experiência e conhecimento suficientes para provar resultados mais amplos relacionados à questão central. Assim, pretende-se avaliar quais possíveis propriedades relativas ao tamanho a interseção de um ideal de operadores com seu conjugado pode satisfazer, determinando quais são impossíveis e apresentando exemplos dos casos positivos.Este projeto se insere no projeto temático da FAPESP "Geometria dos Espaços de Banach" nas grandes áreas de "Teoria Homológica em espaços de Banach" e "Teoria dos operadores". De modo mais específico, ele se conecta com outras pesquisas em andamento em ideais de operadores e estruturas complexas, como o recente trabalho de Corrêa et. al. (Twisted Hilbert spaces defined by bi-lipschitz maps, 2024).