Anéis, corpos e teoria de Galois

• Processo: 24/23034-2
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de março de 2025
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Plamen Emilov Kochloukov
• Beneficiário: João Rafael Silva de Azeredo
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): Anéis Teoria de Galois
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: anéis | corpos | teoria de Galois | Anéis, Corpos e Teoria de Galois

Resumo

Neste projeto pretendemos estudar os fundamentos da teoria dos anéis comutativos e dos corpos, com o objetivo de cobrir a teoria de Galois. Começaremos com as propriedades básicas dos anéis comutativos, tais como anéis euclidianos, principais e fatoriais. Estudaremos a estrutura dos anéis de polinômios de uma e mais variáveis sobre corpo (e sobre um domínio). Revisaremos o conceito de polinômios simétricos, e as fórmulas de Newton. Em seguida passaremos para raízes de polinômios, e os fatos básicos nesta direção. Faremos uma breve introdução à teoria dos grupos, com ênfase aos grupos finitos e de permutações. Introduziremos a noção de grupo solúvel e grupo simples. Estudaremos os grupos simétricos Sn, descreveremos os subgrupos de S4, e mostraremos a simplicidade de An, n diferente de 4. Em seguida estudaremos a questão de existência de raízes de um polinômio, a noção de corpo de raízes, sua existência e unicidade. Estudaremos extensões de corpos: finitas, algébricas, finitamente geradas. Mostraremos a existência de fecho algébrico de um corpo. Consideraremos as noções de extensão separável e puramente inseparável, extensão normal. Veremos os básicos da teoria de corpos finitos e seus automorfismos. Tendo visto tudo isso, estudaremos a teoria de Galois de forma geral. Além do teorema fundamental da teoria de Galois, veremos as noções de solubilidade em radicais, relacionando-as comextensões solúveis, extensões abelianas e extensões cíclicas. Veremosexemplos de equações de grau maior ou igual à 5 que não podem ser resolvidas em radicais. Estudaremos um algoritmo para determinar o grupo de Galois de um polinômio de grau 4 sobre os racionais. Veremos ainda as construções com régua e compasso.Os estudos serão baseados nos livros de S. Lang [3] e de E. Artin,[1].