Tópicos em Corpos Finitos e Combinatória

• Processo: 25/02198-0
• Modalidade de apoio: Bolsas no Exterior - Estágio de Pesquisa - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de agosto de 2025
• Data de Término da vigência: 06 de dezembro de 2025
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Herivelto Martins Borges Filho
• Beneficiário: Daniela Alves de Oliveira
• Supervisor: Daniel Panario
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Instituição Anfitriã: Carleton University, Canadá
• Vinculado à bolsa: 22/14004-7 - Tópicos em Corpos Finitos: códigos cíclicos, hipersuperfícies de Artin-Schreier e trinômios irredutíveis, BP.PD
• Assunto(s): Corpos finitos
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Combinatorics related a finite Fields | Erdos distance problem | finite fields | Polynomials with prescribed coefficients | Stable polynomials | Corpos FInitos

Resumo

Neste projeto, focamos em três tópicos da área de Corpos Finitos. O primeiro objetivo é o estudo de propriedades e enumeração de polinômios sobre corpos finitos F_q com características específicas. Inicialmente, exploramos a enumeração de polinômios mônicos irredutíveis de grau n com coeficientes prescritos, particularmente aqueles que são 1-primitivos, 1-normais ou que satisfazem ambas as propriedades. Estendemos os resultados existentes para considerar annbas as condições de r-primitividade e k-normalidade para coeficientes prescritos. Em segundo lugar, investigamos a estabilidade de iterações polinomiais sobre corpos finitos, analisando polinômios cúbicos, trinômios e famílias de polinômios estáveis de grau superior. Por fim, o terceiro tópico aborda o análogo de do problema da distância de Erdös para corpos finitos, analisando a cardinalidade mínima dos conjuntos de distâncias \Delta(E) para os subconjuntos E subconjunto de (F_q)^d. Nosso objetivo é identificar famílias de conjuntos que atingem limites precisos, relacionar esses problemas a configurações combinatórias e explorar suas conexões com a transformada de Fourier e somas exponenciais sobre corpos finitos. Esta pesquisa integra técnicas algébricas e combinatórias, fornecendo novos insights sobre problemas polinomiais e de distância em corpos finitos.