Imersões e isomorfismos entre espaços de funções contínuas

• Processo: 25/00001-4
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de junho de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de maio de 2029
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Análise
• Pesquisador responsável: Eloi Medina Galego
• Beneficiário: Anna Júlia Gonçalves Veronezi
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 23/12916-1 - Geometria de espaços de Banach, AP.TEM
• Assunto(s): Espaços de Banach
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Espaços de funções continuas | Espaços localmente compactos e de Hausdorff | Isomorfismos entre espaços de Banach | Operadores em espaços de Banach | Teorema de Banach-Stone | Teorema de Holsztynski | Espaços de Banach

Resumo

Sejam \(K\) um espaço localmente compacto Hausdorff e seja \(X\) um espaço de Banach. Denotamos por \(C_0(K,X)\) o espaço de Banach de todas as funções contínuas de \(K\) em \(X\) que se anulam no infinito, equipado com a norma do supremo. Quando \(K\) é compacto, escrevemos \(C(K,X)\). Nesse contexto, os espaços \(C(K)\) onde \(X\) é o corpo dos escalares, têm um papel fundamental na teoria de espaços de Banach. Este projeto tem como objetivo o estudo da geometria linear e não linear dos espaços \(C_0(K,X)\), com ênfase em generalizações do Teorema de Banach-Stone. O projeto de pesquisa é parte do projeto temático da FAPESP 23/12916-1: Geometria dos Espaços de Banach e é dividido em cinco partes.Relembremos que no artigo "Into isomorphisms of spaces of continuous functions" (1984), Jarosz mostrou que se existe um isomorfismo linear \(T\) de \(C(K)\) em \(C_0(S)\) tal que \(\|T\|\|T^{-1}\| < 2\), então existem um subconjunto \(S_0 \subseteq S\) e uma função contínua sobrejetora \(\varphi: S_0 \to K\). Como consequência, segue a seguinte conclusão geométrica: (*) o operador \(\Phi\), definido por \(\Phi(f)(s) = f(\varphi(s))\), é uma isometria linear de \(C(K)\) em \(C(S_0)\).Na Parte 1, investigaremos se é possível generalizar o resultado de Jaroz para o caso em que \(K\) não é compacto, analisando também se a conclusão geométrica (*) continua válida. Esse problema é relacionado ao Problema 1.7 deixado em aberto por Galego e da Silva no artigo "On the structure of into isomorphisms between spaces of continuous functions" (2023).Além disso, em 2018, Galego e Rincón-Villamizar, no artigo "Continuous maps induced by embeddings of \(C(K)\) spaces into \(C_0(S, X)\) spaces", mostraram que, se \(T\) é um isomorfismo linear de \(C_0(K)\) em \(C_0(S, X)\) com \(\|T\|\|T^{-1}\| < S(X)\) (constante de Schäffer), então existe um subconjunto localmente compacto \(S_0 \subseteq S\) e uma função contínua \(\varphi: S_0 \to K\). Na Parte 2, inspirados pelo resultado acima, estudaremos condições para que o isomorfismo linear de \(C_0(K)\) em \(C_0(S, X)\) também produza a conclusão (*). Continuando, em 2022, Galego and da Silva, no artigo "On \(C_0(S, X)\)-distortion of the class of all separable Banach spaces", mostraram que, se existe uma \((M, L)\)-quase-isometria de \(C_0(K)\) em \(C_0(S, X)\) com \(M^2 < S(X)\), então \(K\) é imagem contínua de um subconjunto fechado de \(S\). Então, na Parte 3, olharemos para essa \((M,L)\)-quase-isometria para derterminar se ela pode implicar na conclusão do teorema de Jarosz.Em 2019, Galego and da Silva, no artigo "Isomorphisms of \(C_0(K, X)\) spaces with large distortion", demonstrou que se \(X\) é estritamente convexo, de dimensão finita maior que 2, \(K\) e \(S\) são localmente compactos, e \(T\) é um isomorfismo linear de \(C_0(K, X)\) em \(C_0(S, X)\) satisfazendo \(\|T\|\|T^{-1}\| \leq S(X)\), então \(K\) e \(S\) são homeomorfos. Além disso, em 2024, Galego mostrou em "A stronger form of Banach-Stone theorem to \(C_0(K, X)\) spaces including the cases \(X=\ell_p^2, 1