Grupos, anéis e corpos

• Processo: 25/14875-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de dezembro de 2025
• Data de Término da vigência: 30 de novembro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Plamen Emilov Kochloukov
• Beneficiário: Pedro Henrique de Almeida Ursino
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 24/14914-9 - Estrutura e representações de sistemas algébricos e suas aplicações, AP.TEM
• Assunto(s): Grupos Teoria de Galois
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: corpos | Correspondência de Galois | extensão normal e separável | extensões de corpos | Grupos | solvabilidade de equações polinomiais | Teoria de Galois

Resumo

Neste projeto estudaremos os fundamentos da teoria dos anéis comutativos e dos corpos, com o objetivo de cobrir a teoria de Galois. Começaremos com as propriedades básicas dos anéis comutativos: anéis euclidianos, principais e fatoriais. Estudaremos os anéis de polinômios de uma e mais variáveis sobre um corpo, e sobre um domínio de integridade. Revisaremos o conceito de polinômios simétricos, os principais teoremas, e as fórmulas de Newton. Veremos raízes de polinômios, e sua existência. Isso levará naturalmente ao conceito de extensão de corpos. Veremos o teorema de D'Alembert, que todo polinômio complexo não constante, tem pelo menos uma raiz complexa. Em seguida faremos uma breve introdução à teoria dos grupos, com ênfase aos grupos finitos e de permutações. Introduziremos a noção de grupo solúvel e grupo simples. Estudaremos os grupos simétricos $S_n$, descreveremos os subgrupos de $S_4$, e mostraremos a simplicidade de $A_n$, $n\ne 4$. Estudaremos a noção de corpo de raízes, sua existência e unicidade. Estudaremos extensões de corpos: finitas, algébricas, finitamente geradas. Mostraremos a existência de fecho algébrico de um corpo. Consideraremos as noções de extensão separável e puramente inseparável, extensão normal. Seguiremos para os básicos da teoria de corpos finitos e seus automorfismos. De posse desses conhecimentos, estudaremos a teoria de Galois de forma geral. Além do teorema fundamental da teoria de Galois, veremos as noções de solubilidade em radicais, relacionando-as com extensões solúveis, extensões abelianas e extensões cíclicas. Veremos equações de grau $\ge 5$ que não podem ser resolvidas em radicais, bem como um algoritmo clássico para determinar o grupo de Galois de um polinômio de grau 4 sobre os racionais. Veremos ainda as construções com régua e compasso e os três problemas clássicos da antiguidade.Nossos estudos serão baseados principalmente nos livros de S. Lang e de E. Artin.