Fundamentos Matemáticos da Mecânica Estatística de Férmions com Aplicações a um problema de Retorno ao Equilíbrio

• Processo: 25/18038-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de janeiro de 2026
• Data de Término da vigência: 31 de dezembro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Matemática Aplicada
• Pesquisador responsável: Walter Alberto de Siqueira Pedra
• Beneficiário: João Eduardo Cânovas Bottazzo Souza
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Assunto(s): Álgebras de operadores Férmions Mecânica estatística Física matemática
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: álgebras de operadores | Fermions | Mecânica Estatística | Física Matemática

Resumo

Objetiva-se, por meio desta iniciação científica, introduzir o aluno ao estudo da mecânica estatística quântica sob uma perspectiva matematicamente rigorosa. O plano de estudos envolve, num primeiro momento, a familiarização com o ferramental teórico das álgebras de operadores, fundamental para a formulação precisa da área. Uma vez assimilada essa base, o aluno aplicará esses conceitos para analisar um problema específico: o retorno ao equilíbrio em determinados sistemas de férmions. Este problema é de grande interesse, pois, apesar de sua natureza intuitiva, provar sua validade de forma rigorosa é um desafio complexo e um tema de pesquisa ativo. Simplificadamente, afirma-se que um sistema exibe a propriedade de retorno ao equilíbrio se, ao sofrer uma perturbação que o afaste de seu estado de equilíbrio, sua dinâmica natural o reconduz ao estado de equilíbrio. A formulação algébrica da mecânica quântica e estatística, que se contrapõe à mais tradicional abordagem de Schroedinger, encontra sua base fenomenológica no formalismo de Heisenberg e sua viabilidade matemática na construção GNS (Gelfand-Naimark-Segal). Nela, a descrição de um sistema quântico é realizada por um C¿-sistema dinâmico, definido a partir da sua álgebra de observáveis, em detrimento do par (espaço de Hilbert, equação de Schroedinger). Em particular, estudaremos mais a fundo as C¿-álgebras universais geradas por relações polinomiais, cruciais para a modelagem de sistemas de spins e férmions na rede. A propriedade universal dessas álgebras é importante pois facilita a introdução de simetrias físicas (e.g., translação, calibre). Dentre elas,destaca-se a C¿-álgebra CAR, gerada pelas Relações Canônicas de Anticomutação, que constitui o arcabouço matemático para a descrição de sistemas fermiônicos. Ademais, o estudante aprofundar seus conhecimentos sobre as álgebras CAR (Canonical Anticommutation Relations) ao estudá-las sob a perspectiva das álgebras CAR autoduais (sCAR, self-dual CAR). Essa abordagem, que se baseia no trabalho pioneiro de Araki, oferece a vantagem de tratar sistemas fermiônicos com e seminvariância de calibre de forma unificada. Dessa forma, o aluno estará em posição de especializar seu estudo nos chamados estados quase-livres das álgebras sCAR. Tais estados correspondem, em física teórica, aos estados de gases de férmions não interagentes. Seu objetivo final será, portanto, demonstrar que tais estados exibem a propriedade de retorno ao equilíbrio. Espera-se que ao final da iniciação científica o aluno seja levado ao contato com uma fronteira de pesquisa ativa em Física Matemática, contribuindo significativamente em sua trilha formativa. A sólida base em tópicos avançados de Matemática e Física Teórica, desenvolvida ao longo do projeto, fornecer alicerce para futuros estudos em nível mais complexo. (AU)