Conjunto de bifurcação e índice no infinito de polinômios

Autor(es)

Gabriel Esteban Perico Monsalve

• Tipo de documento: Tese de Doutorado
• Imprenta: São Carlos.
• Instituição: Universidade de São Paulo (USP). Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/SB)
• Data de defesa: 2023-12-19

Membros da banca

Raimundo Nonato Araújo dos Santos; Alexandre César Gurgel Fernandes; Aurélio Menegon Neto; Maria Aparecida Soares Ruas

• Orientador: Raimundo Nonato Araújo dos Santos; Mihai Marius Tibar

Resumo

No contexto de funções polinomiais f : R2 → R de grau d > 0, enfrentamos três desafios fundamentais: a detecção eficaz de valores atípicos, o cálculo do índice no infinito e a estimativa do limite superior do índice em termos do grau d. Demonstramos que a presença de fenômenos específicos no infinito das fibras, como o desaparecimento e a divisão das componentes da fibra, leva ao surgimento de valores atípicos, também conhecidos como valores de bifurcação. Para identificar esses fenômenos, utilizamos as componentes conexas do conjunto de Milnor do polinômio f fora de um compacto em R2, permitindo-nos descrever o comportamento topológico das fibras em proximidade do infinito. Além disso, fornecemos uma caracterização detalhada de valores atípicos e aplicamos nossa abordagem para calculá-los em dois polinômios que exibem fenômenos intrigantes no infinito. Em nosso estudo do índice no infinito ind∞f para funções polinomiais f : R2 → R com singularidades isoladas, definimos este índice como o número de voltas do campo de vetores do gradiente grad f restrito a um círculo C que engloba todos os pontos singulares de f . Apresentamos uma fórmula que revela como o comportamento das fibras no infinito influencia este índice. Por fim, investigamos os fenômenos que contribuem para a diferença entre ind∞f e o limite superior do índice, previamente estabelecido por Durfee. (AU)

• Processo FAPESP: 19/24377-2 - Índice do gradiente no infinito e conjunto de bifurcação
• Beneficiário: Gabriel Esteban Perico Monsalve
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado