Versões parametrizadas do teorema de Borsuk-Ulam

Resumo

O teorema clássico de Borsuk-Ulam afirma que, dada uma função contínua f definida na esfera de dimensão m, S m, e com valores no espaço euclidiano de dimensão m, R m, o conjunto B(f) constituído dos pontos x tais f(x)=f(-x) é não vazio. Nos referiremos a esse conjunto B(f) como o conjunto das soluções Borsuk-Ulam para f. Num artigo recém publicado na Bull. London Math. Soc. 43, o Prof. Stanislaw Spiez, juntamente com T. Schick, R. S. Simon e H. Torunczyk, demonstraram que para uma família "contínua" de funçõesf_w : S m ’\to R m , parametrizadas por pontos w de uma variedade compacta W, com ou sem bordo, seus conjuntos de soluções Borsuk-Ulam dependem "continuamente" do espaço de parâmetros W. "Continuidade" aqui significa que o espaço das soluções Borsuk-Ulam possui uma classe de homologia a qual é projetada na classe fundamental de W. Para demonstrar esse resultado, os autores desenvolveram uma técnica chamada "symmetric homology squaring" em homologia de Cech. Essa construção pode ser útil em outros contextos e, portanto, por si só merece um interesse independente. No entanto, as demonstrações encontradas nesse artigo dependem fortemente da hipótese de W ser uma variedade e os métodos lá utilizados não podem ser usados em contextos mais gerais. Nós planejamos generalizar o resultado acima citado utilizando uma outra abordagem. Em particular, acreditamos ser possível enfraquecer a hipótese de W ser uma variedade para uma classe mais geral de espaços compactos. (AU)