Confirmação do efeito de Aharonov-Bohm sem interação com a fronteira do solenóide

Resumo

No seu Mestrado, atualmente em fase final, o candidato a bolsista (Renan) estuda uma situação do efeito Aharonov-Bohm (AB) com um potencial adicional V(x) que diverge próximo da fronteira do solenóide. Baseando-se em resultados recentes na literatura, o Renan mostrou que se tal divergência for suficientemente rápida, então o operador de AB é essencialmente auto-adjunto, ou seja, não são necessárias condições de contorno na fronteira do soleóide para especificar extensões auto-adjuntas; esta situação interessante é interpretada como falta de contato da partícula com o solenóide.Propõe-se para seu doutorado uma continuação das pesquisas associadas a esse modelo, agora restrito ao plano. A questão principal será constatar de fato a presença do efeito AB nessa situação sem contato com o solenóide. Tal constatação se daria de três formas. Primeiramente, analisando em quais situações os operadores hamiltonianos H(A) com diferentes potenciais magnéticos A são unitariamente equivalentes; a expectativa é baseada em outras situações já consideradas na literatura, particularmente com condição de fronteira de Dirichlet. Isto seria dizer que a implementação de equivalencia unitaria entre H(A1) e H(A2) seria, necessariamente, via transformações de gauge. Demonstrar isto, no contexto sem contato com o solenóide, se configura na primeira etapa do doutorado do Renan. Isto valendo, teriamos H(A) não-equivalente a H(A=0), configurando o efeito AB.A segunda forma seria pelas possíveis relações dos primeiros (menores) autovalores p(A1) e p(A2) de H(A1) e H(A2), respectivamente (supondo que V diverge também no infinito, para garantir espectro discreto de H(A)). Novamente com base em outras situações já estudadas, conjecturamos que p(A1)=p(A2) se, e somente se, H(A1) e H(A2) são unitariamente equivalentes. Demonstrar isto (ou sua negativa), no contexto sem contato com o solenóide, seria a segunda etapa do doutorado do Renan. Após essas etapas, seria de grande interesse estimar a diferença entre p(0)-p(rA) para r convergindo a zero, ou seja, a diferença entre os primeiros autovalores com potencial A nulo e não-nulo, porém pequeno. Seria uma quantificação clara do efeito AB. Há duas técnicas que pretendemos verificar se seriam úteis neste caso. Uma baseada em análise semi-clássica devido a Helffer (e Sjöstrand), e outra baseada no comportamento de semigroupos de calor exp(-tH(A)) para t tendendo a infinito, desenvolvida por Malliavin e usada por Shigekawa. Qual técnica será mais apropriada ainda não é claro, e fará parte das pesquisas durante o doutoramento. (AU)