Álgebras que são soma de duas subálgebras PI

Resumo

Neste projeto pretendemos estudar o seguinte problema. Seja R um anel associativo tal que R=R_1+R_2, onde R_1 e R_2 são subanéis de R. A soma não precisa ser direta, e R_1 e R_2 não precisam ser ideais de R. Supondo que R_1 e R_2 ambos satisfazem identidades polinomiais (PI), podemos concluir que $R$ é um anel que satisfaz alguma identidade polinomial? Este problema é bem antigo, e foram publicados vários trabalhos acerca dele, sempre considerando algumas restrições sobre R_1 e/ou R_2. Recentemente (em 2017), Marek K\c{e}pczyk obteve a resposta geral (positiva) deste problema no caso de anéis associativos. O referido artigo, embora bastante curto, foi baseado em vários outros artigos, portanto o tamanho do artigo não mede a profundidade nem a importância do resultado. O teorema de K\c{e}pczyk utiliza pesadamente a estrutura de anéis e álgebras. Nosso objetivo será estudar o caso de anéis asociativos graduados por um grupo finito G, e estabelecer se um teorema análogo ao do K\c{e}pczyk continua valendo neste caso. Recordamos aqui que a teoria da estrutura de anéis e álgebras graduadas está bem desenvolvida e foi feita em paralelo à teoria do caso não graduado. Portanto esperamos que quando G é um grupo finito, R é um anel G-graduado, e R_1 e R_2 são dois subanéis homogêneos tais que R=R_1+R_2, quando R_1 e R_2 satisfazem identidades G-graduadas, R também satisfará identidades G-graduadas. Em seguida pretendemos estudar o mesmo problema no caso de álgebras de Lie. Recordamos que no caso associativo, a existência de uma PI em um anel ou uma álgebra é uma restrição bastante forte, o que não se repete no caso de álgebras de Lie. Temos algumas ``suspeitas'' que no ambiente de álgebras de Lie a resposta será negativa. O mesmo problema pode ser estudado no caso de álgebras de Lie restritas (p-álgebras de Lie), bem como no caso de álgebras de Lie graduadas e de superálgebras de Lie. Trabalharemos sobre esses casos também. Suspeitamos que para p-álgebras de Lie a resposta pode ser positiva, enquanto que para superálgebras de Lie, negativa. Claro que esses dois últimos casos serão tratados se tudo correr dentro do previsto com o caso associativo graduado e o de Lie não graduado. (AU)