Caminhadas através das dimensões por funções definidas positivas

Resumo

Neste projeto propomos obter novos resultados em duas frentes de pesquisa: uma relacionada com as caminhadas através das dimensões por funções definidas positivas e outra com caracterização de funções definidas positivas. As caminhadas através das dimensões estão relacionadas com o fato que certos operadores diferenciais e integrais, usualmente chamados de Descente e Montée, preservam a propriedade de positividade definida da função alterando a dimensão do espaço no qual tal função era inicialmente definida positiva. Beatson & zu Castell e Bingham & Symons obtiveram resultados quando o espaço em questão é, respectivamente, a esfera d-dimensional S^d e o produto da esfera S^d com a reta real. Matheron obteve resultados quando o espaço em questão é o espaço Euclideano k-dimensional R^k. Nesta linha propomos estudar operadores do tipo Descente e Montée que preservem a positividade definida quando os espaços em questão são o hipertoro T^{d_1,d_2}=S^{d_1}xS^{d_2} e espaços generalizados da forma S^dxR^k. Além disso, pretendemos também revisitar os resultados de Matheron no contexto esférico. No célebre artigo de Schoenberg foi obtida a caracterização de funções contínuas definidas positivas em esferas reais. E a busca pela caracterização completa de funções definidas positivas em diversos espaços tem sido uma linha de pesquisa bastante atual na qual diversos pesquisadores têm se empenhado. Neste contexto propomos obter a caracterização de funções definidas positivas em T^{d_1,d_2}xR^k e fornecer um critério construtivo que permita construir novas classes de funções paramétricas que sejam definidas positivas em T^{d_1,d_2}xR^k. (AU)