Imersão de Grafos em Superfícies e o Modelo de Ising

Resumo

Este projeto tem duas vertentes: a primeira contempla dois problemas fundamentais da teoria de grafos, e a segunda contempla um tópico em física estatística.Na primeira linha, os objetos centrais sãografos, possivelmente com arestas múltiplas, mas sem laço. O objeto de nosso interesse é a conjectura da cobertura dupla orientada de circuitos. Esta conjectura, proposta por François Jaeger, is equivalente à afirmação de que todo grafo cúbico sem pontes tem uma imersão em uma superfície de Riemann fechada sem laço dual. Nosso objetivo é explorar essa conjectura usando uma abordagem geométrica: conseguimos reformulá-la como um problema de existência de emparelhamentos perfeitos em classes especiais de grafos que chamamos de grafos hexagonais. Esta abordagem é motivada pela noção de imersões críticas de um grafo em uma superfície de Riemann fechada, e tem se mostrado útil para outros problemas que transcende o da conjectura em foco.Na segunda linha, o tema central é um dos modelos mais estudados sobre interação de partículas em física estatística: o modelo de Ising. A despeito da simplicidade de sua abordagem, sua solução completa ainda está longe de ser conhecida, exceto em casos especiais de reticulados planares. Nosso interesse no modelo de Ising se justifica pela sua forte relação commatemática discreta: ferramentas e técnicas desenvolvidas em matemática discreta têm-se se mostrado úteis para tratar de problemas relacionados ao modelo de Ising e vice-versa. Tipicamente, no estudo do modelo de Ising, as partículas são associadas aos vértices de um grafo e o tipo de interação entre eles é determinado pela existência de arestas (com pesos) no grafo. Nosso interesse neste projeto é analisar o modelo de Ising em triangulações de superfícies de Riemann fechadas.