Estudo de problemas em espaços de Banach da forma C(K)

Resumo

Espaços de Banach da forma C(K) (o espaço das funções contínuas a valores reais no compacto Hausdorff K, munido da norma do supremo) possuem um papel de destaque dentro da teoria geral dos espaços de Banach. Por exemplo, várias questões a respeito de espaços de Banach são respondidas negativamente através da apresentação de contra-exemplos dentro da classe dos espaços C(K).Neste projeto pretendemos estudar, dentro da classe dos espaços da forma C(K), alguns problemas clássicos da teoria geral de espaços de Banach, tais como o problema da complementação de subespaços, o problema de extensão de operadores limitados e o problema da existência de cópias (isomorfas ou isométricas, complementadas ou não) de espaços de sequências clássicos dentro de espaços de Banach. Lembramos que espaços de Banach C(K) possuem uma estrutura natural de álgebra de Banach; dessa forma, dentre os subespaços fechados de um espaço C(K) podemos considerar, em particular, as subálgebras de Banach.Com relação ao tema de extensão de operadores limitados, um tipo de questão que gostaríamos de investigar é a seguinte: como caracterizar a classe dos espaços compactos Hausdorff K para os quais todo operador limitado, tomando valores em c_0, definido num subespaço de Banach separável de C(K) admite uma extensão limitada a todo o espaço C(K)?Lembramos que o celebrado Teorema de Sobczyk afirma que o espaço c_0 é separavelmente injetivo, isto é, se X é um espaço de Banach separável então todo operador limitado, tomando valores em c_0, definido num subespaço fechado de X admite uma extensão limitada a X. Assim, o Teorema de Sobczyk implica que se K é metrizável (equivalentemente, se C(K) é separável) então K pertence à classe de compactos considerada na questão colocada acima. Tal questão é apenas uma de muitas que gostaríamos de investigar na busca por generalizações do Teorema de Sobczyk. A busca por tais generalizações é um campo fértil de pesquisa no qual muito trabalho tem sido feito nas últimas décadas. O orientador e a candidata submeteram para publicação em novembro de 2012 um artigo a respeito desse tema.