Cluster álgebras e sistemas integráveis

Resumo

Desde as invenções das cluster álgebras (2001) por S. Fomin e A. Zelevinsky, motivados pelo estudo de bases canônicas duais e positividade total de grupos semisimples, relações com a geometria de Poisson e sistemas integráveis foram desenvolvidos. A noção de colchete de Poisson compatível com uma estrutura de cluster, introduzida por M.Gekhtman , M.Shapiro e A.Vainshtein , foi utilizada para interpretar as transformações de clusters e mutações de matrizes do ponto de vista da geometria de Poisson. Motivados pelas propriedades de Poisson das cluster álgebras, Gekhtman-Shapiro-Vainhstein começaram o estudo da geometria de Poisson dos grafos dirigidas com pesos em um disco e em um anel. Logo , Gekhtman - Shapiro- Vainhstein (2011) deram uma interpretação, via cluster álgebras / grafos dirigido com pesos em um anel, das transformações generalizadas de Bäcklund - Darboux entre diferentes fluxos de Coxeter - Toda. Gekhtman e Faybusovich (2000) definiram uma estrutura multi- Hamiltoniana, através da aplicação de Moser, em determinados fluxos de Coxeter - Toda, chamados fluxos elementares de Toda os quais generalizam o fluxo de Toda relativístico e o fluxo de Toda não periódico. Nosso objetivo é dar uma interpretação, via cluster álgebras/grafos dirigidos com pesos, da estrutura multi- Hamiltoniana dos fluxos elementares de Toda. (AU)