Geometria dos frontais em codimensão arbitrária

Resumo

Este projeto propõe a utilização combinada de ferramentas da teoria da singularidade e da geometria diferencial noestudo de frontais em codimensão arbitrária, focado principalmente em superfícies mínimas com pontos singulares e imersões ramificadas em dimensões arbitrárias, por meio da generalização das ferramentas de minha tese. Nela, introduzimos ferramentas para investigar a geometria diferencial de superfícies singulares conhecidas como frontais, no espaço Euclideano. Essas ferramentas nos permitem explorar o comportamento geométrico perto das singularidades dos tipos mais degenerados. É possível provar que as singularidades que ocorrem em superfícies mínimas são de tipo frontal e degeneradas, portanto nossos métodos aplicam. Queremos generalizar as ferramentas e conceitos em para dimensões superiores com o objetivo de aplicá-las a superfícies mínimas em dimensões superiores. A importância dessas superfícies minimas com singularidades surgiu nas soluções do problema do Plateau e outros problemas de cálculo de variações geométricos. Para as soluções minimizantes no espaço $\R^3$ do problema de Plateau, Robert Osserman provou que não possuem singularidades, mas no caso de $\R^n$ com $n\geq 4$ existem exemplos de soluções minimizantes com singularidades de corank máximo, dai a importância de estudá-las.Pretendemos também estudar as curvas, cones tangentes e a fibra de Nash sobre a imagem direta dum frontal analítico ou definivel numa estrutura o-minimal.