Conexões com Curvatura Prescrita via Geometria de Poisson

• Processo: 22/16384-1
• Modalidade de apoio: Auxílio à Pesquisa - Pesquisador Visitante - Internacional
• Data de Início da vigência: 01 de abril de 2023
• Data de Término da vigência: 25 de junho de 2023
• Área do conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Ivan Struchiner
• Beneficiário: Ivan Struchiner
• Pesquisador visitante: David Francisco Martinez Torres
• Instituição do Pesquisador Visitante: Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Espanha
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 16/23746-6 - Técnicas algébricas, topológicas e analíticas em geometria diferencial e análise geométrica, AP.TEM
• Assunto(s): G-estruturas Holonomia Teoria de Lie Geometria diferencial
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Conexões | geometria de Poisson | G-estruturas | Holonomia | Teoria de Lie | teoria de representação | Geometria Diferencial

Resumo

Em uma série de artigos, Q. S. Chi, S. A. Merkulov, L. J. Schwachhöfer, M. Cahen e S. Gutt desenvolveram uma técnica provar a existência de conexões sem torção e com curvatura prescrita em G-estruturas. Eles perceberam que em muitos casos era possível utilizar a curvatura desejada para deformar a estrutura de Lie-Poisson do produto semi-direto da álgebra de Lie de G com R^n obtendo uma nova estrutura de Poisson. Além do mais, usando esta estrutura de Poisson deformada, provaram que nesses casos existem G-estruturas com conexão sem torção com a curvatura desejada.No entanto, não perceberam (e não tinham a linguagem apropriada para tal) que na verdade o algebroide cotangente da estrutura de Poisson deformada tem simetrias adicionais: eles na verdade são algebroides de G-estrutura com conexão. Esta estrutura adicional, que foi estudada pelo proponente deste pedido em colaboração com R. L. Fernandes, torna-se fundamental na passagem dos resultados de existência local para a obtenção de resultados globais. De fato, a existência de conexões completas e a descrição dos seus espaços de moduli é controlada pelo grupoide de G-estrutura com conexão que integra o algebroide cotangente da estrutura de Poisson deformada. Este grupoide pode ou não existir, e a obstrução para existência consiste parte da teoria de Lie para estas estruturas.Neste projeto propomos o estudo da teoria de Lie para o algebroide cotangente da estrutura de Poisson deformada. As principais questões que iremos abordar são: (1) como descrever a obstrução para integrabilidade em termos da aplicação de deformação (da curvatura prescrita)? (2) Em quais casos é possível obter integrações explícitas para o algebroide cotangente? (3) Quando que essas integrações são simpléticas e qual o papel desta forma simplética na descrição do espaço de moduli das conexões sendo consideradas?Os resultados obtidos serão aplicados ao estudo de conexões simpléticas sem torção e com holonomia especial. Tais conexões constituem o principal exemplo onde foram aplicadas as ferramentas locais descritas aqui. (AU)