Teoria de grupos aplicada aos sólidos cristalinos

• Processo: 10/17790-6
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de fevereiro de 2011
• Data de Término da vigência: 31 de janeiro de 2012
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Míriam Garcia Manoel
• Beneficiário: Vinícius Bazan Pinto Fernandes
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 08/54222-6 - Singularidades, geometria e equações diferenciais, AP.TEM
• Assunto(s): Simetria Teoria dos grupos Sistemas dinâmicos (matemática) Cristais
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Grupos | padrões no espaço | padrões no plano | simetrias | solidos cristalinos | Sistemas Dinâmicos Equivariantes

Resumo

Por estar presente em um número muito grande de modelos do universo, a teoria geral de grupos desempenha um papel crucial em matemática e em outras ciências. É através de grupos e suas representações que se desenvolve o estudo sistemático da ocorrência de simetrias em cristais, por fornecer simplificações tanto nos cálculos quanto na interpretação dos resultados. É neste contexto que se insere o presente projeto, com o objetivo principal de desenvolver de forma sólida a teoria de grupos e representação de grupos. Um passo importante neste estudo é a obtenção da classificação dos grupos finitos que descrevem padrões no plano e no espaço. No caso plano, são as 17 possíveis estruturas simétricas de padrões periódicos, os chamados grupos cristalográficos planos ou wallpaper groups. No espaço tridimensional, são os 230 grupos espaciais, obtidos pelas operações de simetria de cada um dos 32 grupos pontuais cristalográficos aplicadas aos 14 retículos de Bravais, que descrevem de maneira unívoca todo arranjo de objetos idênticos dispostos num retículo periódico infinito. Pela naturalidade em que o apelo visual dos grupos mencionados aparece, este projeto inclui leituras em paralelo que motivam a exploração da ocorrência das simetrias nas artes gráficas, em ornamentos, na natureza, na arquitetura, etc. Para aplicações da teoria desenvolvida, propomos o estudo elementar e introdutório dos estados eletrônicos de um cristal, descritos pela equação de Schrödinger, que por sua vez tem a propriedade de comutar com o grupo de simetrias deste cristal.