Períodos e algebricidade

• Processo: 21/10872-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Jovens Pesquisadores
• Data de Início da vigência: 01 de outubro de 2021
• Data de Término da vigência: 28 de fevereiro de 2023
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Tiago Jardim da Fonseca
• Beneficiário: Tiago Jardim da Fonseca
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 20/15804-1 - Períodos e algebricidade, AP.JP
• Assunto(s): Geometria algébrica Cohomologia Transcendência Teoria dos números
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Algebricidade | Cohomologia | Curvas modulares | Formas Modulares | Periodos | Transcendência | Teoria dos Números, Geometria Algébrica

Resumo

Este projeto é dedicado a alguns problemas de algebricidade sobre períodos, reunindo aspectos algebro-geométricos e aritméticos. Períodos são números complexos que se escrevem como integrais de formas diferenciais algébricas. Conjectura-se que períodos são em sua maioria números transcendentes, mas seu estudo é de extrema importância em teoria algébrica dos números, pois eles aparecem como valores especiais de funções L. Gostaríamos de entender, por exemplo, se um dado período é um número algébrico (ou o logaritmo de um número algébrico), as relações algébricas satisfeitas por períodos, suas "simetrias", etc. Frequentemente, a relação entre a teoria de períodos com a geometria algébrica nos permite apoiar-nos em métodos geométricos para obter resultados aritméticos. Trataremos dos seguintes problemas: (i) valores especiais de funções de Green superiores e a conjectura de Gross-Zagier (em colaboração com Francis Brown); (ii) conjecturas de transcendência sobre períodos univaluados; (iii) interpretação motívica de polilogaritmos elípticos múltiplos (em colaboração com Nils Matthes). Nossa abordagem é essencialmente geométrica e envolverá ferramentas como: cohomologia de de Rham algébrica, moduli stacks de curvas elípticas, grupos fundamentais pro-unipotentes, motivos de formas modulares e extensões vetoriais universais de variedades abelianas. (AU)