Groupóides de Lie de simetrias e estruturas geométricas em variedades

• Processo: 24/22841-1
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de abril de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de março de 2027
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Marcos Martins Alexandrino da Silva
• Beneficiário: Luca Accornero
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 22/16097-2 - Métodos modernos em geometria diferencial e análise geométrica, AP.TEM
• Assunto(s): Classes características Folheações
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: classes características | folheações | Grupóides de Lie | Geometria Diferencial;

Resumo

O objetivo geral deste projeto é investigar estruturas geométricas transversais a folheações, utilizando os groupóides de simetrias associados e sua geometria (superior).A ideia de que o conjunto de simetrias de uma estrutura geométrica carrega muita informação sobre a própria estrutura aparece de forma ubiqua na geometria e pode ser rastreada atee o trabalho seminal de Klein e Lie. Estudar simetrias via groupóides e estruturas superiores permite descobrir novos fenômenos e entender melhor os já conhecidos. Além disso, muitas estruturas geométricas em variedades exibem uma falta de homogeneidade que resulta em um conjunto de simetrias naturalmente modelado por um groupóide de Lie, em vez de um grupo de Lie; em tais exemplos, métodos superiores tornam-se ferramentas necessárias.O objetivo deste projeto é trabalhar nessa linha para abordar três classes de problemas relacionados a estruturas geométricas, tanto em si mesmas quanto como estruturas transversais a folheações (singulares).(i) A construção de invariantes (cohomológicos) -- tendo em mente o teorema de anulação de Bott e a teoria das classes características de folheações.(ii) Problemas de deformação -- tendo como estudo de caso a deformação de estruturas de contato em folheações.(iii) Problemas de complexificação -- motivados por diversos exemplos na literatura, como a complexificação de métricas Riemannianas e estruturas simpléticas.O tema unificador é a abordagem: os três problemas podem ser tratados trabalhando no groupóide de Lie associado as simetrias e utilizando ferramentas da teoria de Lie.O estudo de simetria na geometria diferencial, e sua estreita relação com a teoria de Lie, é um dos temas centrais de pesquisa no IME-USP. De fato, o plano de pesquisa se conecta extremamente bem com as direções de pesquisa no IME-USP.