Tópicos em Curvas Algébricas: Função Zeta e Curvas Frobenius não clássicas

• Processo: 24/19443-4
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de julho de 2025
• Data de Término da vigência: 30 de junho de 2028
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Saeed Tafazolian
• Beneficiário: João Paulo Guardieiro Sousa
• Instituição Sede: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC). Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Campinas , SP, Brasil
• Assunto(s): Curvas algébricas Função Zeta
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Curvas Algébricas | curvas de Artin-Schreier | Curvas Frobenius não clássicas | Função Zeta | Semigrupos de Weierstrass | Curvas Algébricas

Resumo

Este projeto tem dois objetivos principais, que estão relacionados com a tese de doutorado do candidato: o estudo da função Zeta de curvas de Artin-Schreier e a classificação de curvas Frobenius não clássicas. Em \cite{bootsma}, o supervisor e seus colaboradores apresentaram um método para construir curvas elípticas com posto arbitrariamente alto sobre certos corpos de funções utilizando curvas maximais. Na sua tese, o candidato estendeu essa construção para corpos de função de característica $3$ sem a hipótese de maximalidade, mas é necessário obter informações sobre a função Zeta de curvas de Artin-Schreier para construir famílias de exemplos contendo a propriedade desejada (veja a Seção \ref{zeta-function}).Também queremos encontrar condições necessárias e suficientes para que uma curva seja Frobenius não clássica. O candidato já classificou as curvas trinomiais Frobenius não clássicas, e o artigo \cite{borges-guardieiro} contendo esses resultados está em fase final de preparação. Agora nós propomos estudar curvas quadrinomiais (veja a Seção \ref{quadrinomial-curves}) e então comparar com os resultados obtidos anteriormente pelo candidato. Nós também propomos estudar os semigrupos de Weierstrass nos pontos dessas curvas trinomiais, uma vez que tais semigrupos estão relacionados com vários resultados de classificação (veja a Seção \ref{weierstrass-semigroup}).Nós esperamos que esse projeto também traga resultados interessantes para a área de curvas algébricas sobre corpos finitos e suas aplicações, a saber: um critério para a irredutibilidade de curvas quadrinomiais, avanços na teoria de semigrupos de Weierstrass em extensões de Kummer e a construção de códigos corretores de erros com comprimento alto.