Introdução às Variedades Topológicas

• Processo: 25/20367-3
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Iniciação Científica
• Data de Início da vigência: 01 de novembro de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de outubro de 2026
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria e Topologia
• Pesquisador responsável: Ivan Struchiner
• Beneficiário: Carlos Filipe Flor de Carvalho
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 22/16097-2 - Métodos modernos em Geometria Diferencial e Análise Geométrica, AP.TEM
• Assunto(s): Grupo fundamental Invariantes topológicos Variedades topológicas Topologia algébrica
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Classificação de Superfícies | Grupo fundamental | Invariantes Topológicos | Teorema de Seifert e van Kampen | topologia geral | variedades topológicas | Topologia Algébrica

Resumo

Introduzir o estudante ao estudo das variedades topológicas, estruturas demasiadamente importantes em tópicos avançados da pesquisa em Matemática. O início será uma introdução à Topologia Geral, de forma que o estudante ganhe familiaridade e sapiência nessa área de estudo e tenha a capacidade de entender a definição de uma variedade topológica. Após isso, o projeto seguirá com a construção dos principais exemplos de variedades e das ferramentas necessárias para demonstrar a primeira parte do Teorema da Classificação das Superfícies Compactas, o primeiro teorema central da pesquisa. Por fim, serão abordados a teoria da Homotopia e o estudo do Grupo Fundamental de espaços topológicos, junto com uma breve jornada pelos Grupos Livres, para que culmine no entendimento e aplicação da segunda parte da Classificação das Superfícies Compactas e do Teorema de Seifert-Van Kampen, sobre o cálculo do grupo fundamental de alguns espaços topológicos.Parte I - Conteúdo:- Espaços topológicos e exemplos, convergência, continuidade, homeomorfismos, espaços de Hausdorff, - Definição de variedade topológica- Espaços produto e quociente- Conexidade e compacidade, - Exemplos de variedades (toro, garrafa de Klein, faixa de Moebius, plano projetivo, entre outros)Parte II - Conteúdo:- Complexos celulares e CW-complexos- Classificação das 1-variedades- Superfícies, soma conexa, representação poligonal, parte 1 da classificação de superfícies compactas- Característica de Euler e orientabilidadeParte III - Conteúdo:- Caminhos, Homotopia e grupo fundamental- Grupo fundamental das esferas Sn, equivalência homotópica, o grupo fundamental do círculo S1Parte IV - Conteúdo:- Produtos livres, grupos livres, presentação de grupos e grupos abelianos livres- Parte 2 do Teorema da Classificação das Superfícies Compactas- Teorema de Seifert-van Kampen