Estabilidade de ondas viajantes para a equação de Schrödinger de tipo cúbico com dois pontos simétricos de interação

Autor(es)

Luis Andres Rosso Ceron

• Tipo de documento: Tese de Doutorado
• Imprenta: São Paulo.
• Instituição: Universidade de São Paulo (USP). Instituto de Matemática e Estatística (IME/SBI)
• Data de defesa: 2015-12-04

Membros da banca

Jaime Angulo Pava; Nataliia Goloshchapova; Orlando Francisco Lopes; Fábio Matheus Amorin Natali; José Felipe Linares Ramirez

• Orientador: Jaime Angulo Pava

Resumo

Este trabalho consiste, fundamentalmente, em estabelecer de forma analítica a existência e estabilidade orbital de soluções standing-wave de tipo peakon, para a seguinte equação de Schrödinger com dois pontos de interação, determinados por duas deltas de Dirac centradas nos pontos x = ±c (NLS-), i t u(x, t) + x 2 u(x, t) + Z[ c (x) + c (x)]u(x, t) = |u(x, t)| 2 u(x, t), (1) onde u : R×R C, Z R e c é a distribuição delta de Dirac agindo em x = c > 0, a saber, para H 1 (R), h c , i = (c). Para as soluções standing waves (ondas estacionárias) associadas à equação (1), i.e., u(x, t) = e it (x), mostramos que é possível determinar o perfil (x) da seguinte maneira: entre os pontos c e c o perfil admite, pelos menos, duas funções suaves e positivas dadas pelas funções elípticas de Jacobi conhecidas como dnoidal e cnoidal. Já para c < |x|, o perfil coincide com uma determinada translação do soliton-perfil secante hiperbólica\" (é bem conhecido na literatura que o perfil secante hiperbólica está associado à equação (1), no caso em que Z = 0). De fato, mostramos que para o caso Z > 0 é possível ajustar, entre os pontos de interação c e c, um perfil periódico de tipo dnoidal ; e para o caso Z < 0 mostramos como é construído entre os pontos de interação um perfil de tipo cnoidal. Uma questão crucial que surge no problema da existência de um perfil conveniente é aquela relacionada com a localização do ponto de interação c > 0. A maneira como respondimos a esta questão foi, de fato, determinante para a obtenção do nosso resultado de estabilidade/instabilidade. Isto se deve a que permitiu o uso de técnicas conhecidas na literatura no desenvolvimento do trabalho. En concreto, a escolha da localização do ponto de interação c, faz com que a segunda derivada do perfil , seja contínua neste ponto. Baseados em argumentos da teoria de Floquet, teoria de representação de formas bi- lineares, teoria de extensão de operadores simétricos e a teoria de perturbação analítica para operadores lineares, bem como nos resultados desenvolvidos por Weinstein e Grilla- kis&Shatah&Strauss, mostramos resultados sobre a estabilidade/instabilidade orbital des- sas ondas. Mais precisamente, mostramos que aquelas com um perfil dnoidal são instáveis e aquelas um perfil cnoidal são estáveis. Além disto, estudamos o problema de Cauchy para (1) no espaço de energia H 1 (R). Para tanto, usaremos informações do espectro do operador com interações pontuais d 2 ±c,Z = 2 Z[ c + c ], dx o qual representa formalmente uma das famílias de extensões auto-adjuntas do operador iii simétrico ( d 2 = dx 2 D() = {f H 1 (R) H 2 (R {±c}) : f (±c) = 0}. (AU)

• Processo FAPESP: 10/52665-8 - Equação de Schrodinger não linear com um potencial suportado por duas deltas de Dirac: ondas viajantes e estabilidade não linear
• Beneficiário: Luis Andres Rosso Ceron
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado Direto