Invariant tori, boundedness of solutions, and periodic orbits in a class of non-smooth oscillators

Autor(es)

Luan Vinicio de Mattos Ferreira Silva

• Tipo de documento: Tese de Doutorado
• Imprenta: Campinas, SP.
• Instituição: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
• Data de defesa: 2024-04-04

Membros da banca

Douglas Duarte Novaes; Ricardo Miranda Martins; Claudio Aguinaldo Buzzi; Francisco Braun; Marcelo Messias

• Orientador: Douglas Duarte Novaes

Resumo

Desde os anos 60, a limitação das soluções das equações de Duffing $ \ddot{x} +g(x)=p(t)$ tem sido um importante objeto de pesquisa em sistemas dinâmicos. Isso se deve, principalmente, ao matemático John E. Littlewood, que propôs a investigação de condições sobre as funções $ g(x) $ e $ p(t) $ para determinar a limitação de todas as soluções da equação de Duffing. Nesse contexto, uma estratégia crucial é determinar a existência de toros invariantes no espaço de fase estendido da equação diferencial, confinando toda a dinâmica na região delimitada pelos mesmos. Assumindo $ p(t) $ como uma função $ \sigma $-periódica, pretendemos estudar a existência de toros invariantes para a família de equações diferenciais descontínuas de segunda ordem \[ {\bf (\mathcal{F}):} \quad \ddot{x}+\mu\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; p(t), \] em que $ \theta$ e $ \varepsilon $ são parâmetros reais, $ \sgn(x) $ representa a função sinal usual e $ \mu\in\{-1,1\} $ é um parâmetro modal, nos casos em que a equação não perturbada ($ \varepsilon=0 $) admite um anel de órbitas periódicas. Mais precisamente, assumindo $ \theta\neq0 $, recorremos à Teoria KAM para investigar a existência de toros invariantes de $ {\bf (\mathcal{F})} $. Neste caso, é necessário que $ p(t) $ seja suficientemente diferenciável. Para $ \theta=0 $, tomando $ p(t) $ como uma função Lebesgue integrável com média zero, constatamos a existência de toros invariantes por meio de um método construtivo e não perturbativo. Tais resultados fornecem condições para a limitação de todas as soluções que se iniciam em tais toros ou nas regiões delimitadas pelos mesmos, bem como condições para a existência de órbitas periódicas. Por fim, para efeito de completude, desenvolvemos uma análise de Melnikov para a classe mais geral de equações diferenciais dadas por $ \ddot{x}+\alpha\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; f(t,x,\dot{x})$, em que $ \alpha\neq0 $ e $ f(t,x,\dot{x}) $ é uma função de classe $ \mathcal{C}^{1} $ e $ \sigma $-periódica em $ t$, com o objetivo de detectar órbitas periódicas que bifurcam dos anéis periódicos da equação diferencial (AU)

• Processo FAPESP: 18/22398-0 - Aspectos globais dos sistemas de Filippov via Teoria KAM
• Beneficiário: Luan Vinicio de Mattos Ferreira Silva
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Doutorado