Estudo de dissipação e bifurcações usando a forma normal ressonante com toros robustos

Resumo

Consideramos um sistema representado pela expansão da Forma Normal Ressonante na vizinhança de um ponto de equilíbrio estável, inicialmente integrável e descrito nas variáveis de ângulo-ação. A Hamiltoniana tem um termo não-perturbado dado por um polinômio quártico numa ação que permite introduzir 3 cadeias de ressonância isócronas, tem também um termo perturbativo com um pré-fator polinomial. Este polinômio é do segundo grau numa das ações com ambas raízes reais o que significa que quando o sistema assa por estes valores de ação a perturbação se anula algebricamente independentemente do valor do parâmetro de perturbação. Isto dá origem a 2 Toros Robustos no espaço de fases. Estes podem aparecer intercalados com as cadeias de ressonâncias ou exteriores a elas. A transição de uma configuração para outra é suave com a variação de um parâmetro do sistema. Inicialmente colocamos um termo dissipativo diretamente numa das equações de Hamilton. Embora isto seja artificial do ponto de vista de preservar a estrutura da Forma Normal, é perfeitamente legitimo para estudarmos os efeitos da dissipação no sistema, olhando as bifurcações e as eventuais crises. Procuraremos tanto os cruzamentos homoclínicos como os heteroclinicos quando a dinâmica for caótica. Por outro lado após escolhermos o termo dissipativo apropriado tentaremos incorporá-lo à Hamiltoniana e estudar os seus efeitos na dinâmica. (AU)