Superfícies de Weingarten em R^3 e hipersuperfícies completas com curvatura de Ricci negativa em R^{n+1}

Resumo

Este projeto de pesquisa está dividivido em duas partes. Na primeira estamos interessados em estudar superfícies de Weingarten, isto é, superfícies nas quais existe uma relação (possivelmente não linear) entre suas curvaturas principais. A quase totalidade dos trabalhos existentes na literatura lida com o caso linear, no entanto as técnicas neles utilizadas não se aplicam ao caso não linear. Buscaremos em nossas investigações desenvolver novas ferramentas para o estudo de tais superfícies, que se apliquem tanto ao caso linear quanto ao caso não-linear. A segunda parte do projeto está relacionada com a seguinte generalização do teorema de Efimov, conjecturada por Reilly e Yau: "Para qualquer hipersuperfície completa com curvatura de Ricci negativa em $RÆ{n+1}$ tem-se $\inf |Ric|=0$". Smyth e Xavier provaram que esta conjectura \'e verdadeira no caso $n=3$, e Chern que ela \'e verdadeira na classe de todos os gráficos inteiros. Posteriormente F. Fontenele demonstrou que nesta classe de hipersuperfícies vale o resultado mais forte que $\inf |A|=0$. O objetivo desta parte do projeto é refinar as idéias contidas no trabalho de F. Fontenele e estender a estimativa $\inf |A|=0$ para uma classe de hipersuperfícies mais ampla que a dos gráficos inteiros. (AU)