Álgebras ada a direita

Resumo

Na Teoria de Representações de Álgebras, temos interesse em estudar a categoria modA de A-módulos finitamente gerados à direita onde A é uma álgebra de artin. Para tal vamos considerar uma subcategoria plena indA de modA tendo como objetos exatamente um representante de cada classe de isomorfismos de módulos indecomponíveis. Estamos estudando técnicas relacionadas a classificações de álgebras caracterizadas através das subcategorias LA e RA de indA. Quando Happel, Reiten e Smalo definiram a classe das álgebras quase-inclinadas, eles introduziram a noção de parte à esquerda de A, LA como a subcategoria plena de indA com os objetos sendo módulos cujos predecessores possuem dimensão projetiva no máximo 1. A parte à direita é definida dualmente e denotada por RA. Desde então, estas subcategorias têm sido amplamente estudadas e aplicadas. Uma álgebra de artin é quase-inclinada se e somente se todo módulo projetivo indecomponível está na parte à esquerda da categoria de módulos. Outras álgebras também foram introduzidas através destas subcategorias como por exemplo álgebras shod (indA = LA U RA) e álgebras laura (LA U RA é cofinita em indA). Através destas motivações introduzimos e estudamos uma nova classe de álgebras, que denominamos álgebras ada, nas quais todos os módulos projetivos indecomponíveis e todos os módulos injetivos indecomponívei estão em LA U RA. Descrevemos os componentes de Auslander-Reiten de uma álgebra ada estrita, isto é, que não é quase-inclinada. Mostramos que a sua Teoria de Representações está inteiramente contida nos seus suportes à esquerda e à direita os quais provamos serem neste caso, álgebras inclinadas. Observamos que o suporte à esquerda de uma álgebra de Artin é o anel de endomorfismo da soma direta de todos os módulos projetivos indecomponíveis estando na parte à esquerda de modA, e o suporte à direita é definido dualmente. Este projeto visa o estudo da classe de álgebras com a propriedade de que todos os projetivos indecomponíveis estão em LA U RA. Denominamos estas álgebras como álgebras ada à direita. Já obtivemos que as álgebras ada à direita possuem dimensão global menor ou igual a 4 e que são triangulares. Provamos que algumas propriedades e resultados de álgebras ada são mantidos para as álgebras ada à direita. Porém em alguns aspectos as álgebras ada à direita apresentam outras descrições distintas das álgebras ada a serem melhor compreendidas na teoria. Um dos objetivos deste projeto é obter uma descrição da estrutura da categoria de módulos das álgebras ada à direita. Ao considerarmos uma álgebra ada à direita estrita A, podemos definir como no caso das álgebras ada a componente conexa da aljava de Auslader-Reiten de A contendo os Ext-projetivos de addRA que estão em uma mesmo componente conexa. No entanto, estes componentes podem não ser dirigidas como é o que ocorre para as álgebras ada. Um problema que pode ocorrer neste caso é que as álgebras ada à direita podem apresentar injetivos indecomponíveis não dirigidos estando fora da união LA U RA e estes injetivos em alguns casos contribuem para que a componente como descrita acima seja não dirigida ou mesmo não seja standard generalizada. Estamos trabalhando em obter um melhor controle destes componentes de modA. Além disso, queremos investigar a noção de álgebra simplesmente conexa nesta classe de álgebras. Um dos problemas clássicos na Teoria de Representações de Álgebras é descobrir qual é o tipo de representação de uma álgebra. Este problema consiste em saber se o número de classes de isomorfismos de módulos indecomponíveis sobre a álgebra é finito ou infinito. Temos interesse em descrever como são as álgebras ada e ada à direita de tipo de representação finito. Através desta descrição estaremos dando mais um passo no entendimento do comportamento destas classes de álgebras usando uma outra abordagem e propiciando a descoberta de outras propriedades relacionadas na teoria. (AU)