Modelos de Análise de Dados Funcionais por Ondaletas: Fundamentos e Aplicações

Resumo

O problema de estimação funcional vem sendo estudado de formas variadas na literatura. Uma possibilidade bastante promissora se dá pela utilização de bases ortonormais dewavelets (ondaletas). Essa solução é interessante por sua: frugalidade; otimalidade assintótica; e velocidade computacional.Ondaletas são candidatas ideais para a formulação de metodologias eficientes computacional eestatisticamente nesse caso. Os resultados de suaotimalidade assintótica, viabilidade numérica e capacidade de adaptação incluem: Donoho and Johnstone (1998); Abramovich et al. (2004); Fan and Koo (2002); Klemelä (2006); e Morettin et al. (2016). Há uma bibliografia extensa sobre desenvolvimentos teóricos e motivaçãoestatistica, da qual destacamos: Mallat (1989); Meyer (1992); Morettin (2014); Vidakovic (1999); e Wojtaszczyk (1999).Modelos para dados funcionais são motivados e suas idéias basais são apresentadas em Ramsay and Silverman (2005). Resultados gerais de equivalência assintótica, no sentido de Le Cam,são apresentados em Nussbaum (1996) e Brown and Low (1996).O campo de aplicação de modelos estatísticos para dados funcionais é muito grande e crescente. Há muitas perguntas abertas, que esperamos ver respondidas de forma teórica, como:(i) Comportamento assintótico de estimadores por ondaletas e sua comparação com outros paradigmas.(ii) Frugalidade na representação de problemas funcionais por ondaletas.(iii) Otimalidade de testes baseados em representação por ondaletas. (iv) Alternativas como processo gerador de dados funcionais para o movimento browniano, especificamente processos CTARMA e processos brownianos fracionários.No doutorado serão desenvolvidos modelos teóricos de equações diferenciais estocásticas que generalizem os atualmente utilizados em dois aspectos fundamentais:(a) Processos geradores das Equações Diferenciais Estocásticas (EDE's) diferentes do movimento browniano padrão, em especial movimento fracionários e movimentos com incrementos dependentes (como o CTARMA).(b) Volatilidade estocástica e/ou não estacionária, e sua relação com as modificações na função de difusão das EDE's. Três aplicações principais são de interesse:(A) Volatilidade e Dados Financeiros de alta freqüência.(B) Dados Multidimensionais e Imagens de satélite de alta resolução. (C) Análise de dados genômicos e proteinômicos.