Equações de Evolução Nãolineares tipo Dispersivas

Resumo

Presente projeto de pesquisa descreve os tópicos na teoria de equações de evolução não-lineares tipo dispersivas que estamos interessados em abordar durante os proximos anos. Nosso foco será em analisar o problema de Cauchy e certas proprieadades das soluções, nomeadamente, existência local e global, controlabilidade, estabilização, estabilidade de ondas solitárias, e a proprieadade de continuação única (UCP) e sua generalização.As equações de Schrodinger não-linear (NLS), Boussinesq e Korteweg-de Vries (KdV) que descrevem vários fenômenos da fsica e da dinâmica dos fluidos são os modelos classicos que pertencem nesta classe. Um grande números de matemÁticos de renome internacional como J. Bona, J. Bourgain, C. Kenig, G. Ponce, L. Vega, T. Kato e T. Tao (veja [7]-[41] e referÊncias contidas ai), estão involvidos nesta área de pesquisa para desenvolver novas técnicas e solucionar as questões de longa data. Se os dados iniciais para o problema de Cauchysão suficientemente regulares, as questões de boa-colocação local são normalmente estudadascom recurso a combinação de métodos de energia, princípio de contração, estimativas do tipoStrichartz e maximais, e efeitos regularizantes ([25, 26]). Mas, para os dados iniciais compouca regularidade de Sobolev, os metodos mencionados acima podem nao ser suficientes.Neste contexto os espaços de Bourgain introduzidos em [9], têm-se mostrado eficazes paraobter resultados otimos de boa-colocação local (veja [17]). A fim de estender esta soluçãolocal para globalmente em tempo, as leis de conservação associadas as equações em questãosão usadas para obter estimativa a priori. Entretanto, para os dados iniciais com baixaregularidade de Sobolev não podemos usar este esquema. Para resolver esta situação, Tao et.al. [16, 17] introoduziram um novo método (I-method) que usa um controlo de quantidadesquase conservadas para, duma forma mais geral, obter soluções globais em espaços de funçõesde regularidade inferior a da aplicabilidade das leis de conservação existentes.Vale destcar, que os métodos descritos acima, tanto para local, quanto para global, dependemde estrutura de modelo em questão e o domínio em qual são consideradas. Apesar da vasta investigação desenvolvida recentemente nesta área, as questões de boa-colocação permanecem em aberto para a maioria dos modelos, especialmente nos casos de baixa regularidade dos dados iniciais. A ideia deste projeto é estudar este tipo de questões para alguns casos que se enquadram nesta classe de equações. Também, gostariamos investigar a formação de singularidades, controlabilidade e UCP das soluções.OBS: Para referencias veja Projeto de Pesquisa em anexo. (AU)