Entropia diastática e rigidez das variedades hiperbólicas

Resumo

É um problema clássico determinar quando uma aplicação contínua entre duas variedades suaves e fechadas é homotópica a uma mais regular. O exemplo mais importante é o célebre teorema de rigidez de Mostow, que afirma que se duas variedades compactas localmente simétricas com curvatura estritamente negativa são homotopicamente equivalentes, então são isométricas a menos de um fator de homotétia. O teorema de Mostow foi maravilhosamente estendido por G. Besson, G. Courtois e S. Gallot que, dadas duas variedades riemannianas (Y, g) e (X, g0) de dimensão e 3, com g0 de curvatura seccional estritamente negativa, fornecem condições naturais, em termos de entropia volume de g e g0, que asseguram que uma aplicação de grau não zero f: (Y, g) -> (X, g0) seja homotópica a um recobrimento Riemanniano F: (Y, g) -> (X, g0). Como aplicação deste resultado e das técnicas desenvolvidas, em particular da técnica da aplicação baricentro, eles foram capazes de resolver uma série de problemas de longa data. A ferramenta chave deste projeto é a "entropia diastatica", um novo invariante Kaehleriano que defini no trabalho "A note on diastatic entropy and balanced metrics", J. Geom. Phys. 2014. Este invariante tem algumas propriedades análogas a entropia volume, mas está surpreendentemente ligada a condição de equilíbrio (no sentido de S. Donaldson) e a quantização de Berezin da variedade envolvida. Além disso, suas propriedades me permitiram provar a versão complexa dos teoremas de rigidez de Mostow e fornecer uma caracterização da métrica hiperbólica como a métrica que realiza a mínima entropia diastática ("Diastatic entropy and rigidity of complex hyperbolic manifolds", Complex Manifolds 3. (2016), 186-192). A definição da entropia diastatica é em termos da função diastasis de Calabi, um objeto que determina a geometria de uma variedade de Kaehler e que (contrariamente da função distancia) respeita as subvariedades. Esta propriedade se provou extremamente útil no passado para estudar a rigidez de uma variedade de Kaehler (veja-se por exemplo o trabalho de E. Calabi, A. Loi, N. Mok ou de M. Umehara). Portanto, como consequências das propriedades da função diastasis e dos resultados já obtidos sobre a entropia diastatica, acredito que um estudo deste novo invariante Kaehleriano (a entropia diastatica) com técnicas parecidas aquelas usadas por Besseon-Courtois-Gallot no estudo da entropia volume (em particular adaptando a técnica da aplicação baricentro), pode ser um novo campo de pesquisa extremamente frutífero. (AU)