Mapas polinomiais em corpos finitos e suas aplicações

• Processo: 18/03038-2
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2018
• Data de Término da vigência: 31 de outubro de 2019
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Álgebra
• Pesquisador responsável: Herivelto Martins Borges Filho
• Beneficiário: Lucas da Silva Reis
• Instituição Sede: Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). Universidade de São Paulo (USP). São Carlos , SP, Brasil
• Assunto(s): Corpos finitos Criptologia Curvas algébricas Polinômios
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: corpos finitos | Criptografia | Curvas Algébricas | dinâmica em corpos finitos | Polinômios de Permutação | polinômios linearizados | Corpos Finitos

Resumo

Este projeto se concentra no estudo de mapas polinomiais sobre corpos finitos e suas conexões e aplicações em Criptografia, Dinâmica e Curvas Algébricas. Nossos objetos de estudo incluem: 1) mapas lineares sobre corpos finitos; 2) polinômios de permutação linearizados sobre corpos finitos; 3) curvas algébricas sobre corpos finitos. Em geral, nós estamos interessados no estudo de cada um desses objetos em ao menos um dos seguintes aspectos: caracterização, construção e existência. 1. no estudo de mapas lineares sobre corpos finitos, nós estamos interessados na caracterização do grafo funcional associado a mapas lineares. O grafo funcional de um mapa sobre um corpo finito descreve a dinâmica desse mapa sobre o corpo. Dois trabalhos anteriores (incluindo um de autoria do candidato) sugerem que certas classes de mapas lineares produzem grafos funcionais com muitas simetrias. Nosso objetivo é estender, o mais geral possível, os resultados sobre essas simetrias para uma classe mais ampla de mapas lineares; 2. no estudo de polinômios de permutação linearizados, nós estamos interessados na construção e caracterização desse tipo de permutação, focando nas suas aplicações em Criptografia, que inclui a construção de involuções em corpos binários e permutações com poucos coeficientes não nulos (ex. binômios, trinômios e quadrinômios). Construções e caracterizações clássicas de polinômios de permutação linearizados exploram vários aspectos em Álgebra Linear, como matrizes invertíveis e bases em espaços vetoriais finitos. Nosso estudo se baseia numa abordagem polinomial que foi recentemente sugerida pelo candidato em um de suas mais recentes publicações: nós introduzimos a classe de polinômios nilpotentes linearizados e mostramos como produzir permutações linearizadas desses polinômios nilpotentes; 3. no estudo de curvas sobre corpos finitos, estamos interessados em caracterizar e construir os automorfismos de curvas algébricas C: y^m=f(x) sobre corpos finitos. Nós vemos que, numa situação geral (i.e., C não possui certas anomalias), o grupo de automorfismos de C é obtido via o conjunto de mapas de Mobius que permutam as raízes do polinômio f(x). Essa correspondência sugere uma abordagem puramente polinomial para o estudo do grupo de automorfismos dessas curvas: nosso estudo se concentra na caracterização e construção de polinômios f(x) cujas raízes são permutadas por certos conjuntos de mapas de Mobius. Duas questões principais serão discutidas: a) caracterização de mapas de Mobius que permutam as raízes de uma família clássica de polinômios (por exemplo, polinômios ciclotômicos ou de Chebyshev); b) construção de polinômios cujas raízes são permutadas por um dado conjunto de mapas de Mobius. No contexto de curvas algébricas, questão (a) trata a caracterização do grupo de automorfismos de uma classe específica de curvas e questão (b) trata a construção de curvas com grupo de automorfismos prescrito. (AU)

Publicações científicas

(10)

(Referências obtidas automaticamente do Web of Science e do SciELO, por meio da informação sobre o financiamento pela FAPESP e o número do processo correspondente, incluída na publicação pelos autores)

QURESHI, CLAUDIO; REIS, LUCAS. Dynamics of the a-map over residually finite Dedekind domains and applications. JOURNAL OF NUMBER THEORY, v. 204, p. 134-154, NOV 2019. (13/25977-7, 15/26420-1, 18/03038-2)

REIS, LUCAS. On the existence and number of invariant polynomials. FINITE FIELDS AND THEIR APPLICATIONS, v. 61, JAN 2020. (18/03038-2)

BROCHERO-MARTINEZ, F. E.; REIS, LUCAS; SILVA-JESUS, LAYS. Factorization of composed polynomials and applications. DISCRETE MATHEMATICS, v. 342, n. 12, DEC 2019. (18/03038-2)

REIS, LUCAS. ON THE DIMENSION OF PERMUTATION VECTOR SPACES. BULLETIN OF THE AUSTRALIAN MATHEMATICAL SOCIETY, v. 100, n. 2, p. 256-267, OCT 2019. (18/03038-2)

REIS, LUCAS; RIBAS, SAVIO. Permutations from an arithmetic setting. DISCRETE MATHEMATICS, v. 343, n. 8, AUG 2020. (18/03038-2)

REIS, LUCAS. Counting solutions of special linear equations over finite fields. FINITE FIELDS AND THEIR APPLICATIONS, v. 68, p. 9-pg., 2020-12-01. (18/03038-2)

REIS, LUCAS. On the factorization of iterated polynomials. REVISTA MATEMATICA IBEROAMERICANA, v. 36, n. 7, p. 22-pg., 2020-01-01. (18/03038-2)

BROCHERO MARTINEZ, F. E.; OLIVEIRA, DANIELA; REIS, LUCAS. MOBIUS-FROBENIUS MAPS ON IRREDUCIBLE POLYNOMIALS. BULLETIN OF THE AUSTRALIAN MATHEMATICAL SOCIETY, v. 104, n. 1, p. 66-77, AUG 2021. (18/03038-2)

BORGES, HERIVELTO; REIS, LUCAS. MINIMAL VALUE SET POLYNOMIALS OVER FIELDS OF SIZE p(3). Proceedings of the American Mathematical Society, v. 149, n. 9, p. 3639-3649, SEP 2021. (18/03038-2)

REIS, LUCAS. Mean value theorems for a class of density-like arithmetic functions. INTERNATIONAL JOURNAL OF NUMBER THEORY, v. 17, n. 04, p. 1013-1027, MAY 2021. (18/03038-2)