Processos de Crescimento Aleatório não-monótonos

• Processo: 25/10177-2
• Modalidade de apoio: Bolsas no Brasil - Pós-Doutorado
• Data de Início da vigência: 01 de setembro de 2025
• Data de Término da vigência: 31 de agosto de 2027
• Área de conhecimento: Ciências Exatas e da Terra - Probabilidade e Estatística - Probabilidade
• Pesquisador responsável: Luiz Renato Gonçalves Fontes
• Beneficiário: Leandro Chiarini Medeiros
• Instituição Sede: Instituto de Matemática e Estatística (IME). Universidade de São Paulo (USP). São Paulo , SP, Brasil
• Vinculado ao auxílio: 23/13453-5 - Modelagem de sistemas estocásticos, AP.TEM
• Assunto(s): Transição de fase
• Palavra(s)-Chave do Pesquisador: Não-Monotonicidade | Processos de Crescimento | Transição de fase | Modelos de crescimento

Resumo

Neste projeto, investigarei transições de fase em processos de crescimento aleatório cujo comportamento não é monótono. Transição de fase refere-se ao estudo de sistemas compostos por um grande número de partículas (ou agentes) que se movem espacialmente e interagem com partículas próximas, e cujo comportamento macroscópico muda drasticamente a partir de pequenas variações em certos parâmetros.Entre os modelos de transição de fase bem compreendidos do ponto de vista matemático, a maioria apresenta um comportamento monótono em relação aos seus parâmetros. Isto é, ao aumentar o valor de um parâmetro, sempre favorecemos um dos possíveis comportamentos do modelo. Por exemplo, em modelos simples de crescimento populacional, espera-se que um aumento na taxa de nascimento de novos agentes torne mais provável a sobrevivência da espécie como um todo. O foco deste projeto é desenvolver técnicas para estudar modelos cujo comportamento não é monótono em relação aos seus parâmetros. Essa generalização permite compreender modelos mais complexos do que os atualmente desenvolvidos. No contexto do crescimento populacional, tal abordagem possibilita a introdução de mecanismos de competição nos quais grandes concentrações de indivíduos podem levar à eliminação de agentes. Dependendo da forma como a competição ocorre, um aumento na taxa de nascimento pode não ser sempre favorável à sobrevivência da espécie. No entanto, para demonstrar matematicamente esse tipo de comportamento, é necessário desenvolver novas ferramentas teóricas. A construção de tais ferramentas e sua aplicação a modelos probabilísticos são os principais objetivos deste projeto. As técnicas a serem desenvolvidas serão baseadas na teoria de renormalização (também conhecida como análise multiescala). Essa abordagem é altamente versátil e constitui um dos pilares do estudo de diversos modelos na teoria da probabilidade. A ideia central é que, mesmo em sistemas aleatórios, certos padrões regulares emergem quando analisamos um grande número de eventos. Como ilustração disso, ao lançarmos uma moeda cem vezes, esperamos que aproximadamente metade dos resultados seja cara. A principal diferença ao estudarmos sistemas de partículas é que, ao contrário dos lançamentos de moeda, as partículas interagem entre si e, portanto, não se comportam de maneira independente. Contudo, ao analisarmos grandes porções do espaço onde as partículas estão dispostas, encontramos regiões extensas que apresentam comportamento esperado. Uma vez estabelecido esse fato, utilizamos um argumento indutivo para mostrar que, mesmo que existam regiões que se comportam de maneira inesperada, o comportamento global do sistema é guiado pelas regiões regulares. Apesar de sua versatilidade, a análise multiescala foi originalmente desenvolvida para sistemas monótonos. Assim, para adaptá-la ao estudo de modelos não monótonos, é necessário desenvolver nova teoria. Já obtive alguns resultados preliminares nesse contexto, mas ainda é preciso estruturar a teoria de forma a aplicá-la em diferentes cenários. Do ponto de vista técnico, esse é o principal objetivo deste projeto. (AU)